Collision sous cisaillement

Nous allons maintenant calculer la constante {k}_{0} quand la cause de la collision est le cisaillement. Le flux de particules j vers la particule de référence i est :

{J}_{j}={N}_{j}\sum _{I}{\int }{V}_{ij}{dS}={N}_{j}\sum_{I}{\int }.{\gamma }{r}_{ij}.{dS}={N}_{j}\sum_{I}{\int }\dot{\gamma }y{dS}

{V}_{\mathrm{ij}} est la vitesse relative entre i et j. \sum_{I} est la surface d'interception (ici, le disque de rayon {R}_{ij}={R}_{i}+{R}_{j}). La surface d'interception, notion équivalente à une section efficace, est définie de la façon suivante : toute particule j traversant perpendiculairement cette surface (située loin de i) entrera en collision avec i.

La vitesse d'agrégation s'écrit :

\frac{{{dN}}_{i+j}}{{dt}}={J}_{ij}={N}_{i}{J}_{j}

Le noyau d'agrégation sous cisaillement est donc :

{k}_{0}\left(i,j\right)=\sum_{I}{\int }.{\gamma }{r}_{ij}.{dS}=\dot{\gamma }\sum_{I}{\int }y{dS}

Pour des particules sans interaction (physico-chimique ou hydrodynamique), un calcul élémentaire conduit à :

{k}_{0}\left(i,j\right)=\dot{\gamma}\frac{4}{3}{R}_{ij}^{3}=\dot{\gamma}\frac{4}{3}{\left({R}_{i}+{R}_{j}\right)}^{3}

Le tableau suivant contient les principaux noyaux d'agrégation {k}_{0}\left(i,j\right) relatifs à différentes situations. On reconnaît les deux cas évoqués précédemment. Les deux autres correspondent à l'agrégation dans un écoulement turbulent (voir introduction), l'un applicable quand {R}_{i},{R}_{j}\ll {l}_{K}, l'autre quand {R}_{i},{R}_{j}>{l}_{K}.

Les principaux noyaux d'agrégation k_0 relatifs à différentes situations

Auteurs

k _{0 } \left(i,j \right)

Conditions d'écoulement

Smoluchowski 1917

\frac{2 kT}{3\mu } \left( R_i + R_j \right) \left( \frac{1}{R_i } + \frac{1}{R_j} \right)

brownien

Smoluchowski 1917

\frac{4} {3} {\dot \gamma } \left(R_{i} +R_{j} \right)^{3}

laminaire

Saffman et Turner 1956

\sqrt{ \frac{8\pi } {15}} \left( \frac{\varepsilon_{m} } {\nu } \right)^{1/2} \left(R_{i} +R_{j} \right)^{3}

turbulent

agrégats <l_K

Abrahamson 1975

5,0 \left( { \bar{U}_{i}^{2} + \bar{U}_{j}^{2} } \right)^{\frac{1}{2}} {\left(R_{i} +R_{j} \right) }^{2}

turbulent

agrégats >l_K

Rappel

On a

{l}_{K}={\left(\frac{{\nu }^{3}}{{\varepsilon }_{m}}\right)}^{1/4}

Pour en savoir plus sur {l}_{K}, voir le Chapitre "Hydrodynamique des suspensions"