Collision sous cisaillement
Nous allons maintenant calculer la constante {k}_{0} quand la cause de la collision est le cisaillement. Le flux de particules j vers la particule de référence i est :
{V}_{\mathrm{ij}} est la vitesse relative entre i et j. \sum_{I} est la surface d'interception (ici, le disque de rayon {R}_{ij}={R}_{i}+{R}_{j}). La surface d'interception, notion équivalente à une section efficace, est définie de la façon suivante : toute particule j traversant perpendiculairement cette surface (située loin de i) entrera en collision avec i.
La vitesse d'agrégation s'écrit :
Le noyau d'agrégation sous cisaillement est donc :
Pour des particules sans interaction (physico-chimique ou hydrodynamique), un calcul élémentaire conduit à :
Le tableau suivant contient les principaux noyaux d'agrégation {k}_{0}\left(i,j\right) relatifs à différentes situations. On reconnaît les deux cas évoqués précédemment. Les deux autres correspondent à l'agrégation dans un écoulement turbulent (voir introduction), l'un applicable quand {R}_{i},{R}_{j}\ll {l}_{K}, l'autre quand {R}_{i},{R}_{j}>{l}_{K}.
Auteurs | k _{0 } \left(i,j \right) | Conditions d'écoulement |
---|---|---|
\frac{2 kT}{3\mu } \left( R_i + R_j \right) \left( \frac{1}{R_i } + \frac{1}{R_j} \right) | brownien | |
\frac{4} {3} {\dot \gamma } \left(R_{i} +R_{j} \right)^{3} | laminaire | |
Saffman et Turner 1956 | \sqrt{ \frac{8\pi } {15}} \left( \frac{\varepsilon_{m} } {\nu } \right)^{1/2} \left(R_{i} +R_{j} \right)^{3} | turbulent agrégats <l_K |
Abrahamson 1975 | 5,0 \left( { \bar{U}_{i}^{2} + \bar{U}_{j}^{2} } \right)^{\frac{1}{2}} {\left(R_{i} +R_{j} \right) }^{2} | turbulent agrégats >l_K |
Rappel :
On a
Pour en savoir plus sur {l}_{K}[2], voir le Chapitre "Hydrodynamique des suspensions"[3]