Exercice : Pour manipuler les relations... [Thermodynamique.]

Exercice : Pour manipuler les relations...

Un fluide vérifie l'équation d'état^[1] dite de Clausius :

\[P=\frac{RT}{v-b}\]

où \[b\] est une constante indépendante de la température et de la pression. La capacité calorifique à volume constant \[{c}_{v}\] est indépendante de la température.

Question

Exprimez l'énergie interne et l'enthalpie de ce fluide.

Indice

Utilisez les relations donnant la capacité calorifique molaire à volume constant^[2] et la dérivée partielle de \[u\] par rapport au volume à \[T\] constante^[3], pour exprimer les dérivées de u par rapport à \[T\] et \[v\], puis intégrer pour obtenir \[u\].

Question

Exprimez l'entropie de ce fluide.

Indice

Utilisez les relations donnant la dérivée de \[s\] par rapport à \[T\] ^[4] et la dérivée de \[s\] par rapport à \[v\] ^[5]pour exprimer les dérivées de \[s\] par rapport à \[T\] et \[v\], puis intégrer.

Question

Donner la capacité calorifique à pression constante de ce fluide.

Indice

utilisez la relation des capacités calorifiques molaires à volume constant et à pression constante^[6], pour calculer la différence entre \[{c}_{P}\] et \[{c}_{v}\].

Notes

équation d'état
relation entre température, pression, composition et volume d'un fluide
capacité calorifique molaire à volume constant
\[\begin{array}{ccc}{c}_{v}& =& {\left(\frac{\partial u}{\partial T}\right)}_{v,\underline{N}}\\ {c}_{P}& =& {\left(\frac{\partial h}{\partial T}\right)}_{P,\underline{N}}\end{array}\]
la dérivée partielle de \[u\] par rapport au volume à \[T\] constante
\[\begin{array}{ccc}{\left(\frac{\partial u}{\partial v}\right)}_{T}& =& {\left(\frac{\partial \left(a+{Ts}\right)}{\partial v}\right)}_{v,\underline{N}}\\ & =& -P+T{\left(\frac{\partial s}{\partial v}\right)}_{T,\underline{N}}\\ & =& -P+T{\left(\frac{\partial P}{\partial T}\right)}_{v,\underline{N}}\end{array}\]
la dérivée de \[s\] par rapport à \[T\]
\[{\left(\frac{\partial s}{\partial T}\right)}_{v,\underline{N}}=\frac{{c}_{v}}{T}\]
la dérivée de \[s\] par rapport à \[v\]
\[\begin{array}{ccc}{\left(\frac{\partial s}{\partial v}\right)}_{T,\underline{N}}& =& \frac{\partial }{\partial v}{\left(-{\left(\frac{\partial a}{\partial T}\right)}_{v,\underline{N}}\right)}_{T,\underline{N}}\\ & =& \frac{\partial }{\partial T}{\left(-{\left(\frac{\partial a}{\partial v}\right)}_{T,\underline{N}}\right)}_{v,\underline{N}}\\ & =& {\left(\frac{\partial P}{\partial T}\right)}_{v,\underline{N}}\end{array}\]
la relation des capacités calorifiques molaires à volume constant et à pression constante
\[{c}_{P}-{c}_{v}=-T\frac{{\left(\frac{\partial v}{\partial T}\right)}_{P,\underline{N}}^{2}}{{\left(\frac{\partial v}{\partial P}\right)}_{T,\underline{N}}}\]