Construction géométrique du potentiel chimique

Pour une phase à deux constituants, il est possible de déterminer les potentiels chimiques des constituants à partir de la courbe qui donne, à P et T fixés, l'enthalpie libre de la phase en fonction de la composition {z}_{1}.

En effet, le potentiel chimique du constituant 1 est donné par :

{\mu }_{1}^{\left(\varphi \right)}={\left(\frac{\partial {G}^{\left(\varphi \right)}}{\partial {N}_{1}}\right)}_{T,P,{N}_{2}}={\left(\frac{\partial \left({Ng}^{\left(\varphi \right)}\right)}{\partial {N}_{1}}\right)}_{T,P,{N}_{2}}

N={N}_{1}+{N}_{2} est le nombre de moles total présent dans la phase.

On a donc

{\mu }_{1}^{\left(\varphi \right)}={g}^{\left(\varphi \right)}+N{\left(\frac{\partial {g}^{\left(\varphi \right)}}{\partial {N}_{1}}\right)}_{{N}_{2},T,P}

Pour nous, {g}^{\left(\varphi \right)} est exprimé en fonction de la variable fraction molaire {z}_{1}={N}_{1}/N, il faut donc faire un changement de variables du système \left\{{z}_{1}\right\} au système \left\{{N}_{1},{N}_{2}\right\}  :

{\left(\frac{\partial {g}^{\left(\varphi \right)}}{\partial {N}_{1}}\right)}_{{N}_{2},T,P}={\left(\frac{\partial {g}^{\left(\varphi \right)}}{\partial {z}_{1}}\right)}_{T,P}{\left(\frac{\partial {z}_{1}}{\partial {N}_{1}}\right)}_{{N}_{2}}

et la dérivée partielle de {z}_{1}={N}_{1}/\left({N}_{1}+{N}_{2}\right) par rapport à {N}_{1} est immédiate à calculer :

{\left(\frac{\partial {z}_{1}}{\partial {N}_{1}}\right)}_{N_2}=\frac{N_2}{{\left(N_1+N_2\right)}^{2}}=\frac{z_2}{N}

En "remontant" dans les expressions successives que nous avons écrites, il vient finalement :

{\mu }_{1}^{\left(\varphi \right)}\left(T,P,{z}_{1}\right)={g}^{\left(\varphi \right)}\left(T,P,{z}_{1}\right)+{z}_{2}{\left(\frac{\partial {g}^{\left(\varphi \right)}}{\partial {x}_{1}}\right)}_{T,P}

L'interprétation graphique de cette expression est immédiate : partant de la composition {z}_{1} du mélange, on trace la tangente à la courbe d'enthalpie libre. L'intersection de la tangente avec l'axe vertical {z}_{1}=1 a pour ordonnée le potentiel chimique {\mu }_{1}^{\left(\varphi \right)}.

Symétriquement, le potentiel chimique {\mu }_{2}^{\left(\varphi \right)} s'obtient en cherchant l'intersection de la tangente à la courbe d'enthalpie libre avec l'axe {z}_{1}=0.

Notons enfin que si, au lieu de partir de la courbe {g}^{\left(\varphi \right)}, on utilise le tracé de {g}^{\mathrm{*}\left(\varphi \right)}={g}^{\left(\varphi \right)}-\sum _{i}{z}_{i}{\mu }_{i}^{\left(\mathrm{std}\right)}, cette construction conduira simplement à {\mu }_{1}^{\left(\varphi \right)}-{\mu }_{1}^{\left(\mathrm{std}\right)}.

Construction graphique du potentiel chimique à partir de la courbe d'enthalpie libre molaire. | Jacques Schwartzentruber | Informations complémentaires...Informations
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