Force de frottement visqueux ou Traînée
La grandeur la plus importante relative à une particule dans un écoulement est la force (de frottement) qu'exerce la phase continue sur elle. Si la vitesse relative entre fluide et particule est notée \[u\][1], la force de frottement ou traînée \[{F}_{D}\][2] est :
avec \[U={U}_{p}-{U}_{L}\]
\[{S}_{p}\][3] est la section géométrique qu'offre la particule à l'écoulement.
Elle fait apparaître le coefficient de traînée (sans dimension) \[{C}_{D}\][4], fonction lui-même du nombre de Reynolds particulaire \[{\mathrm{Re}}_{p}\][5]. Le tableau suivant présente les différentes lois relatives au coefficient de traînée et à la traînée pour une sphère.
Appellation | Limites | Expression | Traînée |
|---|---|---|---|
STOKES (écoulement de Stokes) | \({10}^{–4} < \textrm{Re}_p < {1}\) | \(\, = \frac{24}{ \textrm{Re}_p}\) | \(F_D = 3 \pi \mu d_p U\) |
VAN ALLEN (écoulement intermédiaire) | \({1} < \textrm{Re}_p < {10}^3\) | \(\, = \frac{18,5}{\textrm{Re}_p^{0,6}}\) | |
NEWTON (écoulement turbulent) | \({10}^3 < \textrm{Re}_p < {5.10}^5\) | \(\, ={0,44}\) | \(F_D = 0,173 \rho_L d_p^2 U^2\) |
On se contente pour des nombres de Reynolds \[Re<{10}^{3}\] de l'expression :
Physiquement, dans le domaine de Stokes, les lignes de courant, qui sont régulières, contournent la sphère. Quand on augmente la vitesse d'écoulement et donc le nombre de Reynolds (\[R{e}_{p}>1\]), deux tourbillons apparaissent près de la sphère en aval. A nombre de Reynolds plus grand, leur taille augmente et ils s'éloignent de la sphère. La figure suivante illustre l'écoulement autour d'une sphère.
L'écoulement général dans un réacteur de cristallisation ou de précipitation est turbulent. Le rapport entre le diamètre de la particule et l'échelle de Kolmogorov \[\frac{{d}_{p}}{{l}_{K}}\], qui joue un grand rôle, peut être exprimé à partir des définitions de \[{l}_{K}\] et de \[R{e}_{p}\] :
où \[K\][7] est une constante dépendant uniquement de la géométrie de l'installation. La taille relative de la particule vis à vis de l'échelle de Kolmogorov \[{l}_{K}\][8] est donc proportionnelle à \[R{e}_{p}^{3/4}\], mais avec un facteur multiplicatif dépendant -faiblement- du rapport \[{d}_{p}/T\].
Pour un mélangeur cylindrique (\[H=T\]), \[K\] vaut :
où \[\alpha \][9] est le rapport entre la valeur absolue de la vitesse fluctuante \[u\mathrm{'}\][10] et la vitesse en bout de pale \[{u}_{\mathrm{tip}}\][11]. Avec la valeur proposée par [Mersmann et coll., 1998][12] sur le fond de cuve \[\alpha =0,017\] pour \[{N}_{p}=1\] et \[\frac{D}{T}=0,333\], \[K\] prend la valeur 5,5.
Ainsi :
Une petite particule de \[{d}_{p}={10}^{–6}m\] avec \[{l}_{k}={5.10}^{–5}m\] et \[T=0,3m\] aura un \[R{e}_{p}\] de 0,037 (régime de Stokes).
Une grosse particule de \[{d}_{p}=1\mathrm{mm}\] avec \[{l}_{k}=5x{10}^{–5}m\] et \[T=0,3m\] aura un \[R{e}_{p}\] de 37 (régime de Van Allen).
Dans la pratique, le régime de Newton n'existe pas en cuve agitée.