Force latérale ou Portance

Les situations précédentes sont relatives à une particule subissant uniquement une translation. Qu'en est-il si la particule est en rotation ou soumise à un écoulement cisaillé (par exemple, près d'une paroi ou dans un tourbillon) ?

Il apparaît alors une force latérale [Matas et coll., 2004][1].

Une particule en rotation (vitesse angulaire \[{u}_{\Omega }\][2] et en translation (vitesse \[u\][3]) subira une force (dite de force de Magnus ou force de Rubinow-Keller \[{F}_{\mathrm{Rubinow}}\][4]) :

\[{F}_{p}=\frac{\pi }{8}{d}_{p}^{3}{\rho }_{L}\Omega \wedge \left({U}_{P}-{U}_{L}\right)\]

ou

\[{F}_{p}=\frac{\pi }{8}{d}_{p}^{3}{\rho }_{L}\Omega U\]
Illustration de la force de Rubinow-Keller
Illustration de la force de Rubinow-KellerInformations[5]

L'application du théorème de Bernoulli montre que la pression est plus élevée à l'endroit où la vitesse linéaire de la circonférence est opposée à la vitesse du fluide. Ceci conduit à une différence de pression et donc à une force (figure ci-dessus).

Une particule se déplaçant dans un écoulement cisaillé peut subir une force de portance. La vitesse de rotation d'une particule sphérique portée par le fluide est \[\dot{\gamma }/2\] où \[\dot{\gamma }\] est le cisaillement local \[\dot{\gamma }\][6].

On a alors :

\[{F}_{P}=\frac{\pi }{16}{\rho }_{L}U{d}_{p}^{3}\dot{\gamma }\]

L'équation précédente montre que cette force est importante pour les grandes particules (terme en \[{d}_{p}^{3}\]). Sa comparaison à d'autres forces sera examinée ci-dessous.

En fait, pour de petites particules dans un écoulement cisaillé, Saffman a montré que la portance (force de Saffman \[{F}_{\mathrm{Saffman}}\][7]) obéit à :

\[{F}_{P}=1,61{\rho }_{L}{v}^{\mathrm{1/2}}U{d}_{p}^{2}{\dot{\gamma }}^{1/2}\]

Cette expression tient compte de l'effet de l'inertie dans l'écoulement visqueux autour de la particule (figure ci-dessous).

Force de Saffman
Force de SaffmanInformations[8]

Le rapport des deux forces de portance est égal à :

\[{F}_{\mathrm{Saffman}}/{F}_{\mathrm{Rubinow}}=8{\left({d}_{p}^{2}\dot{\gamma }/v\right)}^{-1/2}=8R{e}_{\mathrm{pc}}^{-1/2}\]

\[{\mathrm{Re}}_{\mathrm{pc}}\][9] est le nombre de Reynolds particulaire dans l'écoulement cisaillé. Si celui-ci est inférieur à 1 (\[{d}_{p}=100\mu m\] ; \[\dot{\gamma }=100{s}^{-1}\]), la force de Rubinow est négligeable.

On peut aussi comparer la force de Saffman à la force de traînée (Stokes) :

\[{F}_{\mathrm{Saffman}}/{F}_{\mathrm{Stokes}}=0,17R{e}_{pc}^{1/2}\]

Si \[R{e}_{pc}\] est inférieur à 1 (\[{d}_{p}=100\mu m\] ; \[\dot{\gamma }=100{s}^{-1}\]), la force de Saffman est petite devant celle de Stokes, mais peut néanmoins conduire à une déviation des particules.