Force de masse ajoutée

Une particule de vitesse constante \[{U}_{p}\] dans un fluide au repos transfère à ce dernier de l'énergie cinétique \[{E}_{c}\][1] :

\[T={\rho }_{L}I{U}_{p}^{2}/2\]

avec \[I={\int }_{{V}_{T}}{\left({U}_{L}/{U}_{p}\right)}^{2}{dV}\]

\[{U}_{L}\] est ici la vitesse du fluide mis en mouvement par la particule.

Si la vitesse de la particule varie, on pourra écrire :

\[{dT}/{dt}={\rho }_{L}I{U}_{P}{{dU}}_{P}/{dt}=F\cdot {U}_{P}\]

avec \[F={\rho }_{L}I{{dU}}_{P}/{dt}\]

La force \[{F}_{A}=-F\] représente la traînée additionnelle s'exerçant sur la particule. \[{\rho }_{L}I\] est assimilable à une masse (ajoutée \[{M}_{a}\][2]).

Si le fluide n'est pas au repos, l'expression de la traînée additionnelle sera :

\[{F}_{A}=-{\rho }_{L}Id\left({U}_{P}-{U}_{L}\right)/{dt}+{\rho }_{L}{V}_{P}{{dU}}_{L}/{dt}\]

Le terme de droite vient de la pression additionnelle s'exerçant sur la particule due à l'accélération du fluide. La traînée additionnelle est appelée force de masse ajoutée \[{F}_{A}\][3].

La difficulté réside dans le calcul de \[I\] [Brennen, 1982][4]. Si l'écoulement autour de la particule (sphérique) est potentiel (écoulement autour d'une bulle ou avec glissement autour d'une particule), la masse ajoutée est simplement égale à la moitié de la masse de liquide déplacé :

\[{M}_{a}={\rho }_{L}{V}_{p}/2\]

Ce résultat (les 2 équations précédentes) est obtenu en résolvant l'équation de Navier-Stokes instationnaire appliquée à un écoulement potentiel et en déduisant la force exercée par le fluide sur la particule. Il n'est absolument pas généralisable à n'importe quelle géométrie de particule et d'écoulement.