Introduction : bilan des forces

Quand on étudie l'hydrodynamique d'une suspension (fluide + particules), la façon la plus simple d'aborder le problème est de considérer :

  • l'écoulement du fluide (liquide) sans les particules. Celui-ci est décrit par les équations habituelles de la mécanique des fluides (équation de continuité et équation de Navier-Stokes en régime laminaire ou turbulent) : il s'agit d'équations aux dérivées partielles conduisant aux champs de vitesse et de pression, c-à-d aux valeurs de la pression et des composantes de la vitesse en tout point et à chaque instant. On parle alors d'approche (ou de description) eulérienne pour le fluide.

  • le mouvement et donc la trajectoire d'une ou des particules en appliquant le principe fondamental de la dynamique à la particule soumise à des forces extérieures, dont celles dues au fluide. On calcule donc la vitesse et finalement la position de la particule à tout instant. L'équation différentielle ordinaire donnant le vecteur vitesse fait évidemment intervenir le vecteur vitesse et la pression du fluide au point où se trouve la particule. On parle alors d'approche lagrangienne pour la particule.

Cette approche est découplée, dans la mesure où l'écoulement, à l'échelle macroscopique, est supposé non perturbé par la présence des particules, ce qui n'est pas le cas pour ces dernières. Cette simplification très utilisée n'est applicable qu'aux suspensions diluées. La particule sera sensible à l'hydrodynamique locale: l'écoulement ne sera perturbé qu'au voisinage de la particule, c-à-d à une distance inférieure à quelques diamètres de particules.

Dénombrons et quantifions les forces s'exerçant sur une particule plongée dans un fluide. Le paramètre sans dimension pertinent est \[{\mathrm{Re}}_{p}\][1], le nombre de Reynolds particulaire :\[R{e}_{p}={\rho }_{L}U{d}_{p}/\mu \], où \[{d}_{p}\] et \[U\] sont respectivement la dimension caractéristique de la particule et la vitesse relative entre particule et fluide. En fait, il n'y a pas d'équation générale ; on dispose seulement d'expressions valables dans un contexte bien précis. Les difficultés ont plusieurs origines :

  • la géométrie de la particule : la simplification la plus courante consiste à la supposer sphérique.

  • la stationnarité ou la non stationnarité de l'écoulement.

  • la nature de l'écoulement au niveau et à l'échelle de la particule. Habituellement, on rencontre l'écoulement de Stokes (pour les particules sub-micronique et micronique dans un liquide : \[R{e}_{p}<1\]), l'écoulement intermédiaire (\[1<R{e}_{p}<1000\]), l'écoulement turbulent dans son régime inertiel ou visqueux (particules sub-millimétrique et millimétrique \[R{e}_{p}>1000\]). On a parfois affaire à l'écoulement potentiel (frottement visqueux négligeable et \[R{e}_{p}\simeq 1000\]).

Le cas le plus fréquemment rencontré en cristallisation-précipitation est la particule sphérique dans un écoulement de Stokes non stationnaire.

Le mouvement d'une particule dans un fluide obéit au principe fondamental de la dynamique :

\[{\rho }_{s}{V}_{p}\frac{{{dU}}_{p}}{{dt}}=\sum {F}_{\mathrm{ext}}\]

\[{V}_{p}\][2] est le volume de la particule.

Les forces extérieures comprennent outre les « vraies » forces extérieures comme la gravité, des forces d'inertie et la force de frottement visqueux. Le découpage en plusieurs forces extérieures et leur additivité supposée est quelque peu artificiel. En fait, la méthode rigoureuse consiste à résoudre les équations de Navier-Stokes et de continuité instationnaires avec les conditions aux limites appropriées pour en déduire la force que le fluide exerce sur la particule. Nous allons cependant décrire chaque force considérée individuellement.