Influence de la fraction volumique
Les suspensions industrielles sont le plus souvent des suspensions concentrées. Le mouvement de ces suspensions ne peut se résumer à la juxtaposition des mouvements indépendants des particules individuelles. Il est malheureusement impossible de décrire rigoureusement le mouvement de toutes les particules.
Une suspension est décrite localement par sa densité numérique de population, traduction de la diversité de taille des particules. Là encore, sa prise en compte conduit à une grande complexification du problème. Une approche élémentaire, mais féconde, consiste à introduire la notion de fraction volumique en solide \[{\phi }_{S}\][1] (qui n'est autre qu'un moment de la densité de population). L'influence mutuelle des particules et l'interaction fluide-particules seront décrites au travers de ce paramètre. Il faut souligner que, dans ce chapitre, l'influence mutuelle des particules se résume à leur interaction hydrodynamique. Nous ferons l'hypothèse qu'il n'existe pas d'interaction physico-chimique entre elles. Nous allons illustrer l'influence de la fraction volumique sur un exemple : la vitesse terminale de chute.
On trouve dans la littérature de nombreuses études expérimentales montrant que la vitesse terminale de chute d'une particule dans un milieu de fraction volumique non nulle est généralement plus faible que celle obtenue pour une particule seule en milieu tranquille. On montre que la vitesse terminale de chute \[{u}_{\mathrm{te}}\][2] d'une particule entourée d'autres particules dépend de la fraction volumique en solide \[{\phi }_{S}\][1] par l'intermédiaire d'interactions hydrodynamiques. Devant la complexité de l'hydrodynamique multiparticulaire, les premières études ont d'abord été effectuées en milieu dilué et pour des systèmes monodispersés, puis bidispersés. Encore aujourd'hui, peu de données existent dans la littérature aussi bien en milieu concentré que pour des systèmes polydispersés. Les relations donnant la vitesse terminale de chute pour des suspensions monodispersées sont de deux types : les corrélations empiriques et les équations reposant sur un fondement théorique. La loi la plus fréquemment utilisée est donnée par Richardson et Zaki (1954)[3].
Suivant les auteurs, l'exposant \[n\] est exprimé soit en fonction du nombre de Reynolds de la particule \[{\mathrm{Re}}_{p}\][4], soit fonction du nombre d'Archimède \[\mathrm{Ar}\][5], sachant que ces deux nombres sans dimension sont liés par la relation : \[Ar=\frac{3}{4}{C}_{D}R{e}_{p}^{2}\].
Les faibles valeurs de \[{\mathrm{Re}}_{p}\] correspondent aux faibles valeurs d'\[\mathrm{Ar}\][5] et réciproquement. Dans les cuves agitées, les valeurs de \[{C}_{D}\] sont voisines de l'unité, sauf pour les très petites particules où \[{C}_{D}=24/R{e}_{p}\mathrm{>>}1\], mais alors \[Ar\] et \[R{e}_{p}\] sont donc tous deux proportionnels et faibles.
Pour \[Ar\to 0\] et\[R{e}_{p}\to 0\], l'exposant \[n\] vaut 4,65 ;
et pour \[Ar\gg 0\] et \[R{e}_{p}\gg 0\], l'exposant \[n\] vaut 2,4.
Ainsi en fonction du nombre de Reynolds de la particule \[R{e}_{p}\] [Richardson et Zaki (1954)][3] :
\(R e_p <0,2\) | \(n=4,65\) |
|---|---|
\(0,2<R e_p <1\) | \(n=4,4 R e_p ^{-0,03}\) |
\(1<R e_p <500\) | \(n=4,4 R e_p ^{-0,1}\) |
\(R e_p >500\) | \(n=2,4\) |
Et, en fonction du nombre d'Archimède :
avec \[1<\mathrm{Ar}<{10}^{6}\].
Attention :
Le résultat de la fonction Atan est exprimé en radians.
Derrière le terme interaction hydrodynamique se cachent plusieurs phénomènes :
En sédimentant, une particule doit remplacer son équivalent en eau, lequel aura une vitesse ascendante non nulle en milieu confiné. Le frottement entre la particule et l'eau en sera d'autant plus élevé (voir exercice[7]).
En sédimentant, la particule chasse (draine) l'eau confinée devant elle ; cette couche d'eau est d'autant plus difficile à évacuer qu'elle est mince (voir exercice[8]).