Équation du mouvement d'une particule dans un fluide

Le mouvement d'une particule dans un fluide obéira au principe fondamental de la dynamique :

\[{\rho }_{S}{V}_{P}{{dU}}_{P}/{dt}=-\frac{1}{2}{\rho }_{L}{V}_{P}d\left({U}_{P}-{U}_{L}\right)/{dt}+{\rho }_{L}{V}_{P}{{dU}}_{L}/{dt}+{F}_{D}+{F}_{P}+{F}_{G}+{F}_{B}\]

Avec la force de pesanteur \[{F}_{G}\][1] ou poids apparent donnée par :

\[{F}_{G}={V}_{P}g\left({\rho }_{S}-{\rho }_{L}\right)\]

Dans le membre de droite, on reconnaît successivement le terme d'accélération du fluide et le terme d'accélération relative entre fluide et particule (force de masse ajoutée \[{F}_{A}\][2]), la force de frottement (Stokes pour les petits nombres de Reynolds (\[R{e}_{P}<1\])), la portance (force de Saffman \[{F}_{\mathrm{Saffman}}\][3]), la force de pesanteur \[{F}_{G}\][1] et pour finir la force de Basset \[{F}_{B}\][4].

Si la suspension est contenue dans un récipient en rotation (avec la vitesse angulaire \[\Omega \]), il est judicieux d'étudier le mouvement des particules dans le repère tournant. Il convient alors d'ajouter les termes de force centrifuge \[{F}_{\mathrm{Ce}}\][5] et de force de Coriolis \[{F}_{C}\][6] pour les équations décrivant le fluide et les particules :

  • équation de Navier Stokes :

\[{\rho }_{f}\frac{\partial {U}_{L}}{\partial t}=\cdots -2{\rho }_{f}\Omega \mathrm{x}{U}_{L}-{\rho }_{f}\Omega \mathrm{x}\left(\Omega \mathrm{x}r\right)\]

  • équation du mouvement de la particule :

\[{\rho }_{f}\frac{\partial {U}_{L}}{\partial t}=\cdots -2\Omega \mathrm{x}\left({\rho }_{P}{U}_{P}-{\rho }_{L}{U}_{L}\right)-\left({\rho }_{P}-{\rho }_{L}\right)\Omega \mathrm{x}\left(\Omega \mathrm{x}r\right)\]