Vitesse minimale de décollage d'une particule du fond

Pour que le décollage du fond ou de la surface se réalise dans un liquide de masse volumique {\rho }_{L}, il faut que l'énergie cinétique due au mouvement turbulent soit du même ordre de grandeur au fond que l'énergie potentielle des forces de gravité [Mersmann et coll., 1998]. Appliqué à une cuve agitée et une particule de diamètre {d}_{p} et de masse volumique {\rho }_{S}, cela donne :

{\rho }_{L}u{\mathrm{'}}_{L,\mathrm{min}}^{2}={d}_{p}g\mid {\rho }_{S}-{\rho }_{L}\mid

gest l'accélération de la pesanteur terrestre. Pour approcher la composante fluctuante de la vitesse u{\mathrm{'}}_{L,\mathrm{min}} avec un agitateur tournant à la vitesse d'agitation N, en fond d'une cuve ou juste sous la surface, zone assimilée à une région de moyenne turbulence, [Mersmann et coll., 1998] proposent :

\frac{u{\mathrm{'}}_{L,\mathrm{min}}}{\pi \mathrm{DN}}=0,088{N}_{p}^{7/18}{\left(\frac{D}{{D}_{T}}\right)}^{3/2}

Une combinaison des deux relations précédentes conduit à la vitesse minimum d'agitation {N}_{\mathrm{min}} pour observer le phénomène de décollage :

{N}_{\mathrm{min}}=5,1{N}_{p}^{-7/18}\cdot {\left(\frac{{D}_{T}}{D}\right)}^{3/2}\cdot {\left(\frac{{d}_{p}g\mid {\rho }_{S}-{\rho }_{L}\mid }{{D}^{2}{\rho }_{L}}\right)}^{1/2}

En se fondant sur l'égalité de la puissance de mouvement fluctuant du fluide et de l'énergie de la particule en chute libre, elle-même corrigée de l'effet de densité de la phase solide suspendue, [Mersmann et coll., 1998] proposent une relation entre u{\mathrm{'}}_{L}, valeur minimale de la composante fluctuante de la vitesse pour atteindre la mise en suspension, et les grandeurs caractéristiques du liquide et des particules :

\mid u{\mathrm{'}}_{L}\mid =3{C}_{D}{d}_{p}g{u}_{\mathrm{tc}}^{2}{\phi }_{S}{\left(1-{\phi }_{S}\right)}^{n}{\left(\frac{{\rho }_{S}-{\rho }_{L}}{{\rho }_{L}}\right)}^{1/4}

Tenant compte des expressions de l'énergie dissipée {\epsilon }_{M} et du nombre d'Archimède \mathrm{Ar}, les relations ci-dessus fournissent l'énergie dissipée par unité de masse {\epsilon }_{\mathrm{M1}} à atteindre pour la mise en suspension :

{\epsilon }_{\mathrm{M1}}=200{\mathrm{Ar}}^{1/2}{\phi }_{S}{\left(1-{\phi }_{S}\right)}^{n}\left(\frac{\nu g\left({\rho }_{S}-{\rho }_{L}\right)}{H{\rho }_{L}}\right){\left(\frac{{D}_{T}}{D}\right)}^{5/2}

{\Phi }_{S} est la fraction volumique occupée par la phase solide, {u}_{\mathrm{te}} la vitesse terminale de chute libre. L'exposant n, introduit par [Richardson et Zaki, 1954], varie de 4,65 (\mathrm{Ar}<5) à 2,4 (\mathrm{Ar}>50000). Entre ces valeurs extrêmes, on peut adopter la corrélation :

n=2,4+1,4\left(1,57–\mathrm{Atan}\left(\frac{\mathrm{Ar}}{300}\right)\right)