Sédimentation d'une particule isolée
Application à la sédimentation de particules dans un liquide au repos
Nous appliquerons ces notions à la sédimentation de particules dans un liquide au repos. On considère une particule sphérique de masse volumique {\rho }_{S} tombant librement dans un fluide immobile de masse volumique {\rho }_{L}. L'équation du mouvement (sans tenir compte de la force de masse ajoutée {F}_{A}[1]) régissant le phénomène s'écrit alors :
La vitesse terminale de chute {u}_{\mathrm{te}}[2], qui est une vitesse limite, est obtenue pour \frac{d{U}_{p}}{dt}=0 ; elle correspond à la vitesse acquise par la particule, lorsque la force de frottement est égale au poids apparent de la particule.
L'équation suivante indique le temps que met la particule pour atteindre sa vitesse limite. Pour des particules micrométriques sédimentant dans l'eau, ce temps est court devant le temps de sédimentation.
Sous une forme sans dimensions avec U\mathrm{'}={U}_{p}/{U}_{tc},t\mathrm{'}=t{U}_{tc}/{d}_{p} :
{U}_{tc}, la vitesse limite, est caractérisée par :
avec R{e}_{p}=\frac{{d}_{p}{U}_{tc}}{\nu } et Ar=\frac{{d}_{p}^{3}g\left({\rho }_{S}-{\rho }_{L}\right)}{{\nu }^{2}{\rho }_{L}}
\mathrm{Ar}[3] est le nombre d'Archimède.
Le régime instationnaire obéit à :
On retrouve le même temps caractéristique (mais, écrit sous une forme sans dimensions) :
Pour un faible nombre de Reynolds particulaire (R{e}_{p}<1), la vitesse sans dimension obéit à :
avec \tau \mathrm{'}=\frac{R{e}_{p}{\rho }_{S}}{18{\rho }_{L}}.
Quels sont les effets des forces de masse ajoutée et de Basset ?
La force de masse ajoutée {F}_{A}[1] ne modifie pas la vitesse terminale de chute, mais affecte légèrement le temps caractéristique (pour mémoire : {\rho }_{S}{V}_{P}{{dU}}_{P}/{dt}=-\frac{1}{2}{\rho }_{L}{V}_{P}d\left({U}_{P}-{U}_{L}\right)/{dt}+{\rho }_{L}{V}_{P}{{dU}}_{L}/{dt}+{F}_{D}+{F}_{P}+{F}_{G}+{F}_{B}) :
La force de Basset {F}_{B}[4] modifie vitesse terminale de chute et temps caractéristique. On peut estimer l'importance de cette force en calculant le rapport{F}_{B}/{F}_{G} : on remplace dans l'intégrale (pour mémoire : {F}_{B}=3/2{\rho }_{L}{\pi }^{1/2}{\nu }_{1/2}{d}_{p}^{2}\underset{\mathrm{t0}}{\overset{t}{\int }}{dt}\mathrm{'}{\left(t-t\mathrm{'}\right)}^{-1/2}d\left({U}_{L}-{U}_{P}\right)/{dt}\mathrm{'}) la vitesse de la particule par {U}_{p}={U}_{tc}\left(1-{e}^{-t\mathrm{'}/\tau \mathrm{'}}\right) :
On montre facilement que, pour t\mathrm{'}/\tau \mathrm{'}>1 :
La figure ci-dessous représente le rapport {F}_{B}/{F}_{G} en fonction du temps sans dimension pour différents nombres de Reynolds R{e}_{p} et rapports de masse volumique \frac{{\rho }_{L}}{{\rho }_{S}}.
Comment étendre ces notions à la sédimentation d'une particule dans un réacteur de cristallisation-précipitation ou un tube dans lequel l'écoulement est turbulent ?
Comment étendre ces notions à la sédimentation d'une particule dans un réacteur de cristallisation-précipitation ou un tube dans lequel l'écoulement est turbulent ? En fait, ce problème est directement lié à ceux de la mise en suspension d'une particule déposée (au fond du réacteur) et de la non-redéposition ; dans ces derniers cas, cela se traduit par une vitesse minimale d'agitation ou d'écoulement au-delà de laquelle la particule reste ou parvient dans la suspension.
Considérons le cas de la non-redéposition. Une première approche [Molerus et Latzel, 1987][6], qui suppose que la sédimentation se produit le long des parois (dans la couche limite turbulente), consiste à écrire l'égalité entre le poids apparent {F}_{G}[7] et la force de frottement (calculée à la paroi) exercée par le fluide sur la particule. Une seconde approche [Voit et Mersmann, 1985][8], qui suppose que la sédimentation peut avoir lieu à partir de n'importe quel endroit dans le réacteur, consiste à écrire l'égalité entre la vitesse terminale de chute et la vitesse ascendante moyenne du fluide :
{N}_{Q} est le nombre de pompage.
On fait ainsi apparaître \mathrm{Fr}{\mathrm{'}}_{\left(p\right)}[9], le nombre de Froude modifié : {\mathrm{Fr}}_{p}^{\mathrm{'}}=\frac{{U}_{L}^{2}{\rho }_{L}}{{d}_{p}\left({\rho }_{S}-{\rho }_{L}\right)g}. Dans le cas du réacteur agité, {U}_{L} est égal à ND ; dans le cas du tube, {U}_{L} est la vitesse moyenne d'écoulement. L'équation précédente montre que la vitesse de maintien en suspension sera donnée par un nombre de Froude modifié constant pour une géométrie donnée.
[Rieger et Ditl, 1994][10] présentent un résumé des corrélations liant les différents nombres sans dimensions pertinents (\mathrm{Fr}=\frac{{N}^{2}D{\rho }_{L}}{\left({\rho }_{S}-{\rho }_{L}\right)g}, Re=N{D}^{2}/\nu , Ar, {d}_{p}/{D}_{T}) pour toutes les situations.