Dénombrement des degrés de liberté
Nous admettons que la température et la pression de chaque étage sont fixées par les conditions ambiantes (la pression n'a de toute façon pas d'effet sur les équilibre liquide-liquide, et les effets thermiques de changement de phase liquide-liquide sont presque toujours négligeables). Le diagramme d'équilibre ternaire, qui dépend essentiellement de la température (et très peu de la pression) est donc fixé.
Le débit de charge F est imposé, ainsi que sa composition. Le solvant est supposé pur (composition fixée) mais son débit n'est pas connu à priori. Nous appellerons \(c\) le nombre de constituants intervenant dans le procédé \(c\) (\(c=3\)).
Les variables sont, pour chaque étage \((i)\), les débits molaires partiels de chaque constituant dans chaque phase qui le quitte, c'est-à-dire les \(c\) composantes de chacun des vecteurs \({\bf \mathrm{E}^{(i)}}\) et \({\bf \mathrm{R}^{(i)}}\) : il y a donc \(2c\) variables par étage. À ces variables de débit, il convient de rajouter le débit de solvant S (une variable) et le nombre d'étages \(N\).
Il y a donc \(2cN+2\) variables décrivant la cascade.
Pour chaque étage, on peut écrire \(c\) équations de bilan matière et \(c\) équations d'équilibre, soit en tout \(2cN\) équations.
Le nombre de degrés de liberté est donc de 2.
On peut par exemple :
fixer le nombre d'étages et le débit de solvant et en déduire la composition des débits de sortie (extrait[1] et raffinat[2]) ;
s'imposer deux conditions sur les débite de sortie, par exemple les compositions de l'extrait[1] et du raffinat[2] désolvantés et en déduire le taux de solvant[3] et le nombre d'étages nécessaires ;
ou encore s'imposer un taux de solvant[3] et une composition de sortie (par exemple la composition du raffinat[2] désolvanté) et en déduire la composition de l'extrait[1] et le nombre d'étages.
Les deux derniers cas correspondent à un calcul de conception (on parle aussi de "design") de la cascade de mélangeurs décanteurs, puisque l'une des inconnues est le nombre d'étages nécessaires pour la séparation. C'est ce type de calcul que nous traiterons par la suite.