Les moments
Le bilan de population est aussi souvent écrit en termes de moments.
Définition : le moment en taille
On définit le moment en tailles d'ordre j de la distribution n\left(L,t\right) :
Le moment d'ordre 0 est donc proportionnel à un nombre, {m}_{L,0}={\int }_{0}^{\infty }n{dL}
le moment d'ordre 1 {m}_{L,1}={\int }_{0}^{\infty }nL{dL} à une longueur,
le moment d'ordre 2 {m}_{L,2}={\int }_{0}^{\infty }n{L}^{2}{dL} à une surface,
et le moment d'ordre 3 {m}_{L,3}={\int }_{0}^{\infty }n{L}^{3}{dL}à un volume, une masse {\int }_{0}^{\infty }{\phi }_{V}{\rho }_{\mathrm{solide}}n{L}^{3}{dL} ou un nombre de moles {\int }_{0}^{\infty }\frac{{\phi }_{V}{\rho }_{\mathrm{solide}}}{{M}_{\mathrm{solide}}}n{L}^{3}{dL}.
Remarque :
Par la suite pour simplifier les notations, le moment en tailles sera noté : {m}_{j}.
L'intérêt d'utiliser des moments permet de calculer assez simplement des grandeurs moyennes telles que des tailles et écarts types (ou variances) :
Le diamètre moyen en nombre {L}_{1,0}, en surface (ou diamètre de Sauter) {L}_{3,2} et en masse (ou volume) {L}_{4,3} seront calculés par :
{L}_{1,0}=\frac{{m}_{1}}{{m}_{0}}, {L}_{3,2}=\frac{{m}_{3}}{{m}_{2}} et {L}_{4,3}=\frac{{m}_{4}}{{m}_{3}}.
Les écarts-types réduits en nombre {\sigma }_{N}, en surface {\sigma }_{S} et en masse {\sigma }_{M} seront calculés par :
{\sigma }_{N}={\left(\frac{{m}_{2}{m}_{0}}{{{m}_{1}}^{2}}-1\right)}^{1/2}, {\sigma }_{S}={\left(\frac{{m}_{4}{m}_{2}}{{{m}_{3}}^{2}}-1\right)}^{1/2} et {\sigma }_{M}={\left(\frac{{m}_{5}{m}_{3}}{{{m}_{4}}^{2}}-1\right)}^{1/2}
Complément :
Pour plus de précisions sur les diamètres moyens et variances d'une distribution de tailles :
voir le cours sur les Sciences et Technologies des Poudres[1].
Définition :
On peut définir de la même manière le moment en surface d'ordre j {m}_{s,j}={\int }_{0}^{\infty }{s}_{p}^{j}{n}_{s}{{ds}}_{p} et le moment en volume d'ordre j {m}_{v,j}={\int }_{0}^{\infty }{v}_{p}^{j}{n}_{v}{{dv}}_{p}.
Remarque :
Il existe des relations entre les différents moments exprimés en taille, surface ou volume.
Par exemple quelle est la relation entre un moment en volume et un moment en taille ?
Le nombre de cristaux dont la taille L est comprise dans la classe de taille \left[L;L+{dL}\right] par unité de volume de suspension est égal à :
Le nombre de cristaux dont le volume {v}_{p} est compris dans la classe \left[{v}_{p};{v}_{p}+{{dv}}_{p}\right] est égal à :
avec {v}_{p}={\phi }_{v}{L}^{3}.
Le nombre de cristaux par unité de volume de suspension étant indépendant de la représentation choisie en volume ou nombre, on a :
En terme de moments {m}_{v,j}={\int }_{0}^{\infty }{v}_{p}^{j}{n}_{v}{{dv}}_{p}
soit {m}_{v,j}={\int }_{0}^{\infty }{\left({\phi }_{v}{L}^{3}\right)}^{j}n{dL}
soit pour un facteur de forme en volume constant en fonction de L :
En procédant de même avec le moment en surface, sachant que {s}_{p}={\phi }_{s}{L}^{2} on arrive à :