Force de masse ajoutée
Une particule de vitesse constante {U}_{p} dans un fluide au repos transfère à ce dernier de l'énergie cinétique {E}_{c}[1] :
avec I={\int }_{{V}_{T}}{\left({U}_{L}/{U}_{p}\right)}^{2}{dV}
{U}_{L} est ici la vitesse du fluide mis en mouvement par la particule.
Si la vitesse de la particule varie, on pourra écrire :
avec F={\rho }_{L}I{{dU}}_{P}/{dt}
La force {F}_{A}=-F représente la traînée additionnelle s'exerçant sur la particule. {\rho }_{L}I est assimilable à une masse (ajoutée {M}_{a}[2]).
Si le fluide n'est pas au repos, l'expression de la traînée additionnelle sera :
Le terme de droite vient de la pression additionnelle s'exerçant sur la particule due à l'accélération du fluide. La traînée additionnelle est appelée force de masse ajoutée {F}_{A}[3].
La difficulté réside dans le calcul de I [Brennen, 1982][4]. Si l'écoulement autour de la particule (sphérique) est potentiel (écoulement autour d'une bulle ou avec glissement autour d'une particule), la masse ajoutée est simplement égale à la moitié de la masse de liquide déplacé :
Ce résultat (les 2 équations précédentes) est obtenu en résolvant l'équation de Navier-Stokes instationnaire appliquée à un écoulement potentiel et en déduisant la force exercée par le fluide sur la particule. Il n'est absolument pas généralisable à n'importe quelle géométrie de particule et d'écoulement.