Bilan sur des classes autres que la première classe : cas général

Considérons l'évolution du nombre de cristaux dans la classe de particules de taille entre deux instants t et t+{dt}.

Évolution du nombre de cristaux dans la classe de particules de taille [L , L+dL[ entre deux instants t et t+dt.
Évolution du nombre de cristaux dans la classe de particules de taille [L , L+dL[ entre deux instants t et t+dt.Informations

Entre t et t+{dt}, sont rentrés dans la classe des particules de taille qui se trouvaient à L-{{dL}}_{1} et sont sorties des particules qui se trouvaient à L+{dL}-{{dL}}_{2}.

Toute particule ayant une augmentation de taille par croissance strictement inférieure à {{dL}}_{2}restera dans la classe \mathrm{[}L,L+{dL}\mathrm{[} et toute particule ayant augmentation de taille supérieure ou égale à {{dL}}_{2}sortira de la classe \mathrm{[}L,L+{dL}\mathrm{[} par croissance.

{{dL}}_{1} et {{dL}}_{2} représentent donc l'augmentation de taille que doivent présenter des particules pour respectivement entrer dans la classe et sortir de la classe \mathrm{[}L,L+{dL}\mathrm{[}.

Remarque

{{dL}}_{1}\ll {dL} et {{dL}}_{2}\ll {dL}

{{dL}}_{1} et {{dL}}_{2} peuvent être calculées grâce à la vitesse de croissance des particules : {{dL}}_{1}=G\left(L-{{dL}}_{1},t\right){dt}+{dG}\left(L-{{dL}}_{1},t\right){dt} et {{dL}}_{2}=G\left(L+{dL}-{{dL}}_{2},t\right){dt}+{dG}\left(L+{dL}-{{dL}}_{2},t\right){dt}

Par la suite les termes {dG}\left(L-{{dL}}_{1},t\right) et {dG}\left(L+{dL}-{{dL}}_{2},t\right) qui sont des termes du second ordre seront négligés et nous retiendrons {{dL}}_{1}=G\left(L-{{dL}}_{1},t\right){dt} et {{dL}}_{2}=G\left(L+{dL}-{{dL}}_{2},t\right){dt}.

Soit un élément de volume {dV} dans le cristalliseur, centré autour d'un point M. Dans cet élément de volume, la vitesse de croissance dépend de la taille des cristaux et de la sursaturation locale S et sera notée G\left(L,M,t\right).

Le bilan des éléments entrant dans la classe \mathrm{[}L,L+{dL}\mathrm{[} et sortant de cette classe donne :

Bilan des éléments entrant et sortant de la classe [L , L+dL[

Nombre de particules entrant dans la classe

Nombre de particules sortant dans la classe

Par croissance

n(L-dL_1, M, t).dV.dL_1

n(L+dL-dL_2, M, t). dL_2 .dV

avec le débit d’alimentation

Q_e . n_e(L,t).dL.dt

avec le débit de soutirage

Q_s .n_s(L, t).dL.dt

Par brisure

R_{BR}^{(e)}(L,M,t).dL.dt

R_{BR}^{(s)}(L,M,t).dL.dt

Par agglomération

R_{AG}^{(e)}(L,M,t).dL.dt

R_{AG}^{(s)}(L,M,t).dL.dt

Avec {{dL}}_{1}=G\left(L-{{dL}}_{1,}M,t\right).{dt} et {{dL}}_{2}=G\left(L+{dL}-{{dL}}_{2,}M,t\right){dt}

Si on reprend le bilan

[nombre de cristaux entrant dans une classe] - [nombre de cristaux sortant de cette classe] = [accumulation de cristaux dans cette classe]

Le bilan sur la classe \mathrm{[}L,L+{dL}\mathrm{[} conduit donc à :

\begin{array}{rcl} d\left({\int }_{V}n\left(L,M,t\right)\mathrm{DL}{dV}\right)&=&{Q}_{e}.{n}_{e}\left(L,t\right).{dL.dt}-{Q}_{s}.{n}_{s}\left(L,t\right).{dL.dt}\\ ~&+&{\int }_{V}\left({R}_{\mathrm{AG}}^{\left(e\right)}+{R}_{\mathrm{BR}}^{\left(e\right)}-{R}_{\mathrm{AG}}^{\left(s\right)}+{R}_{\mathrm{BR}}^{\left(s\right)}\right).{dL.dV.dt}\\ ~&+&{\int }_{V}n\left(L-{{dL}}_{1,}M,t\right).{{dL}}_{1}.{dV}-{\int }_{V}n\left(L+{dL}-{{dL}}_{2,}M,t\right).{{dL}}_{2}.{dV}\end{array}

Si on pose

  • la vitesse nette d'agglomération {R}_{\mathrm{AG}}^{\mathrm{net}}={R}_{\mathrm{AG}}^{\left(e\right)}-{R}_{\mathrm{AG}}^{\left(s\right)} telle que {R}_{\mathrm{AG}}^{\mathrm{net}}{dL} est le nombre net de particules créées par agglomération dans la classe considérée par unité de temps et de volume,

  • la vitesse nette de brisure {R}_{\mathrm{BR}}^{\mathrm{net}}={R}_{\mathrm{BR}}^{\left(s\right)}-{R}_{\mathrm{BR}}^{\left(e\right)} telle que {R}_{\mathrm{BR}}^{\mathrm{net}}{dL} est le nombre net de particules disparues par brisure de la classe considérée par unité de temps et de volume,

l'équation devient :

\begin{array}{rcl} d\left({\int }_{V}n\left(L,M,t\right){dL}{dV}\right)&=&{Q}_{e}.{n}_{e}\left(L,t\right).{dL.dt}-{Q}_{s}.{n}_{s}\left(L,t\right).{dL.dt}+{\int }_{V}\left({R}_{\mathrm{AG}}^{\left(\mathrm{net}\right)}-{R}_{\mathrm{BR}}^{\left(\mathrm{net}\right)}\right).{dL.dV.dt}\\ ~&+&{\int }_{V}n\left(L-{{dL}}_{1,}M,t\right).{{dL}}_{1}.{dV}-{\int }_{V}n\left(L+{dL}-{{dL}}_{2,}M,t\right).{{dL}}_{2}.{dV}\end{array}

Attention

On notera que l'intervalle de temps dt doit être choisi suffisamment court pour que {{dL}}_{1} et {{dL}}_{2} soient inférieurs à {dL}. La différence {{dL}}_{1}-{{dL}}_{2} est un second ordre infiniment petit et peut donc être négligé devant {dL}, un premier ordre infiniment petit.

En remplaçant {{dL}}_{1} et {{dL}}_{2} dans

\begin{array}{rcl}d\left({\int }_{V}n\left(L,M,t\right){dL}{dV}\right)&=&{Q}_{e}.{n}_{e}\left(L,t\right).{dL.dt}-{Q}_{s}.{n}_{s}\left(L,t\right).{dL.dt}+{\int }_{V}\left({R}_{\mathrm{AG}}^{\left(\mathrm{net}\right)}-{R}_{\mathrm{BR}}^{\left(\mathrm{net}\right)}\right).{dL.dV.dt}\\~&+&{\int }_{V}n\left(L-{{dL}}_{1,}M,t\right).{{dL}}_{1}.{dV}-{\int }_{V}n\left(L+{dL}-{{dL}}_{2,}M,t\right).{{dL}}_{2}.{dV}\end{array}

on a

\begin{array}{rcl}d\left({\int }_{V}n\left(L,M,t\right){dL}{dV}\right)&=&\left({Q}_{e}.{n}_{e}\left(L,t\right)-{Q}_{s}.{n}_{s}\left(L,t\right)\right).{dL.dt}+{\int }_{V}\left({R}_{\mathrm{AG}}^{\left(\mathrm{net}\right)}-{R}_{\mathrm{BR}}^{\left(\mathrm{net}\right)}\right).{dL.dt.dV}\\~&+&{\int }_{V}\left(n\left(L-{{dL}}_{1,}M,t\right).G\left(L-{{dL}}_{1,}M,t\right)-n\left(L+{dL}-{{dL}}_{2,}M,t\right).G\left(L+{dL}-{{dL}}_{2,}M,t\right)\right){dt.dV}\end{array}

Complément

En écrivant le développement limité d'ordre 1 de \left[\mathrm{nG}\right]\left(L-{{dL}}_{1,}M,t\right) et de \left[\mathrm{nG}\right]\left(L+{dL}-{{dL}}_{2,}M,t\right) on a respectivement :

\left[\mathrm{nG}\right]\left(L-{{dL}}_{1,}M,t\right)=\left[\mathrm{nG}\right]\left(L,M,t\right)-\frac{\partial \left[\mathrm{nG}\right]\left(L,M,t\right)}{\partial {L}_{1}}{{dL}}_{1}
\left[\mathrm{nG}\right]\left(L+{dL}-{{dL}}_{2,}M,t\right)=\left[\mathrm{nG}\right]\left(L,M,t\right)+\frac{\partial \left[\mathrm{nG}\right]\left(L,M,t\right)}{\partial L}{dL}-\frac{\partial \left[\mathrm{nG}\right]\left(L,M,t\right)}{\partial {L}_{2}}{{dL}}_{2}

En combinant les deux développements limités et le bilan de population, on peut écrire :

\begin{array}{rcl}d\left({\int }_{V}n\left(L,M,t\right){dL}{dV}\right)&=&\left({Q}_{e}.{n}_{e}\left(L,t\right)-{Q}_{s}.{n}_{s}\left(L,t\right)\right).{dL.dt}+{\int }_{V}\left({R}_{\mathrm{AG}}^{\left(\mathrm{net}\right)}-{R}_{\mathrm{BR}}^{\left(\mathrm{net}\right)}\right).{dL.dt.dV}\\~&+&{\int }_{V}\left(\frac{-\partial \left[\mathrm{nG}\right]\left(L,M,t\right)}{\partial {L}_{1}}{{dL}}_{1}-\frac{\partial \left[\mathrm{nG}\right]\left(L,M,t\right)}{\partial L}{dL}+\frac{\partial \left[\mathrm{nG}\right]\left(L,M,t\right)}{\partial {L}_{2}}{{dL}}_{2}\right){dt.dV}\end{array}

{{dL}}_{1} et {{dL}}_{2} étant négligeables devant {dL}, et en divisant par {dt.dL} on obtient :

\begin{array}{rcl}\frac{\partial }{\partial t}\left({\int }_{V}n\left(L,M,t\right){dV}\right)&=&-{\int }_{V}\left(\frac{\partial \left[\mathrm{nG}\right]\left(L,M,t\right)}{\partial L}\right){dV}+\left({Q}_{e}.{n}_{e}\left(L,t\right)-{Q}_{s}.{n}_{s}\left(L,t\right)\right)\\~&+&{\int }_{V}\left({R}_{\mathrm{AG}}^{\left(\mathrm{net}\right)}-{R}_{\mathrm{BR}}^{\left(\mathrm{net}\right)}\right){dV}\end{array}

Si n et G sont uniformes sur tout le volume V, en intégrant sur le volume V du cristallisoir on trouve l'équation du bilan de population :

\frac{\partial }{\partial t}\left(n\left(t\right){dV}\right)=-V\frac{\partial \left[\mathrm{nG}\right]\left(t\right)}{\partial L}+\left({Q}_{e}.{n}_{e}\left(L,t\right)-{Q}_{s}.{n}_{s}\left(L,t\right)\right)+V\left({R}_{\mathrm{AG}}^{\left(\mathrm{net}\right)}-{R}_{\mathrm{BR}}^{\left(\mathrm{net}\right)}\right)

Le bilan de population s'écrit en supposant n et G uniformes sur tout le volume V :

\frac{\partial }{\partial t}\left(n\left(t\right){dV}\right)=-V\frac{\partial \left[\mathrm{nG}\right]\left(t\right)}{\partial L}+\left({Q}_{e}.{n}_{e}\left(t\right)-{Q}_{s}.{n}_{s}\left(t\right)\right)+V\left({R}_{\mathrm{AG}}^{\left(\mathrm{net}\right)}-{R}_{\mathrm{BR}}^{\left(\mathrm{net}\right)}\right)

Cette équation n'est valable que pour des classes de particules de taille supérieure à la taille des nuclei. Il faut y rajouter une équation de bilan particulière aux nuclei (condition aux limites).