Transfert de matière autour d'un cristal en suspension

Dans un milieu turbulent, avant d'atteindre la surface du solide, le flux d’un soluté se déposant à la surface de particules solides doit traverser la couche limite qui l’entoure (figure ci-dessous). Le flux molaire diffusionnel de transfert de soluté \[{F}_{m}\] autour d’une particule de taille \[{d}_{p}\] est proportionnel au produit d'un coefficient de transfert de matière \[{k}_{d}\][1] à travers la couche limite et du gradient externe de concentration entre le cœur du liquide \[C\] et la surface solide \[{C}_{I}\] :

\[{F}_{m}={k}_{d}\left(C–{C}_{I}\right){A}_{p}\]
Transfert de matière autour d'une particule solide d'aire Ap
Transfert de matière autour d'une particule solide d'aire ApInformations[2]

\[{k}_{d}\][1] est donné par des corrélations ; citons les trois formules les plus fréquemment utilisées dans le cas des solides en suspension agitée et qui donnent généralement des valeurs très voisines.

Levins et Glastonbury (1972)[3] pour les cuves agitées :

\[\mathrm{Sh}={k}_{d}\frac{{d}_{p}}{{D}_{m}}=2+0,47{\left({\epsilon }_{M}\frac{{d}_{p}^{4}}{{\nu }^{3}}\right)}^{0,207}{\left(\frac{D}{{D}_{T}}\right)}^{0,17}{\left(\frac{\nu }{{D}_{m}}\right)}^{0,36}\]

Herndl et Mersmann (1981)[4] pour les cuves agitées et les tubes :

\[\mathrm{Sh}={k}_{d}\frac{{d}_{p}}{{D}_{m}}=2+0,224{\mathrm{Re}}^{0,067}{\left({\epsilon }_{M}{d}_{p}^{4}/{\nu }^{3}\right)}^{0,222}{\left(\frac{\nu }{{D}_{m}}\right)}^{0,33}\]

La formule d’ Armenante et Kirwan (1989)[5] est tout spécialement représentative du comportement des micro-particules de moins de 30 µm :

\[\mathrm{Sh}={k}_{d}\frac{{d}_{p}}{{D}_{m}}=2+0,52{\left({d}_{p}^{4/3}\frac{{\epsilon }_{M}^{1/3}}{\nu }\right)}^{0,52}{\left(\frac{\nu }{{D}_{m}}\right)}^{0,33}\]

\[{\epsilon }_{M}\] s’exprime comme décrit plus haut. En première approximation, \[{k}_{d}\][1] varie comme \[{\epsilon }_{M}^{0,2}\] et comme (d’après Mersmann et coll., 1998[6]) :

\[{d}_{p}^{–1}\mathrm{si}{\mathrm{Re}}_{p}<1\mathrm{;}{d}_{p}^{–1/2}\mathrm{si}1000>{\mathrm{Re}}_{p}>10\mathrm{;}{d}_{p}^{–0,2}\mathrm{si}{\mathrm{Re}}_{p}>100000\]

Remarque

Remarquons que \[\mathrm{Sh}\to 2\] si la turbulence se réduit. En particulier, si la particule suspendue est petite, d'une taille inférieure à l'échelle de Kolmogoroff \[{l}_{K}\][7], elle subit un régime d'écoulement laminaire. Comme :

\[{\left(\frac{{d}_{p}}{{l}_{K}}\right)}^{4}={\epsilon }_{M}\frac{{d}_{p}^{4}}{{\nu }^{3}}\]

est faible, donc \[\mathrm{Sh}\approx 2\] d'après toutes les corrélations ci-dessus. On peut aussi argumenter que la vitesse de glissement relative d'une petite particule par rapport au fluide est faible, ce qui conduit à la même conclusion.

\[{k}_{d}\][1] dépend de la température selon une loi de type Arrhenius, avec une énergie d'activation apparente due à l'influence de la diffusivité et de l'ordre de \[8 \textrm{ à }20\mathrm{kJ}\/\mathrm{mol}\].