Thermodynamique.

Reprenons l'exemple de deux corps en contact thermique, l'un à la température \[{T}_{1}\], l'autre à la température \[{T}_{2}\].

Pendant un intervalle de temps \[\mathrm{dt}\], le corps 1 va céder au corps chaud la quantité de chaleur \[\delta {Q}_{1\to 2}\], dont nous ne connaissons pas a priori le signe. La température du corps 1 va passer à \[{T}_{1}+dT_{1}\], celle du corps 2 à \[{T}_{2}+{dT}_{2}\].

Si nous considérons le système formé des deux corps, il est thermiquement isolé, donc :

Par contre, nous pouvons réaliser la même transformation de façon réversible, en mettant à part à part le corps 1, et lui soutirant de façon réversible la quantité de chaleur \[\delta {Q}_{1\to 2}\] de façon à faire varier sa température de \[{dT}_{1}\]. Pour ce faire, il suffit de mettre ce corps en présence d'une source de chaleur à la température \[{T}_{1}+{dT}_{1}\]. On agit de même avec le corps 2 pour lui apporter la quantité de chaleur \[\delta {Q}_{1 \to 2}\]. Réunissons à nouveau les deux corps 1 et 2, et le système se retrouve exactement dans le même état que l'état final décrit plus haut.

Les variations d'entropie des corps 1 et 2 s'écrivent :

L'entropie étant une fonction d'état, sa variation lors de deux transformations ayant les mêmes états final et initial est la même. De plus c'est une fonction additive :

et donc :

Si \[{T}_{2}>{T}_{1}\], alors \[\left(1/{T}_{2}-1/{T}_{1}\right)\] est négatif, et donc \[\delta {Q}_{1\to 2}\] doit être négatif aussi : la chaleur est transférée du corps (2) vers le corps (1).

Nous avons donc l'intense satisfaction de vérifier que le second principe de la thermodynamique est bien cohérent avec cette observation quotidienne...