Second principe pour un système ouvert

Considérons maintenant un système ouvert, qui échange donc de la matière avec l'extérieur. Ainsi que nous l'avons fait au chapitre précédent, nous remplaçons le système \[{\cal S}\] ouvert, par le système \[{\cal F}\] constitué :

  • à l'instant \[t\], de la réunion du système \[{\cal S}\] et de la matière qui va y entrer pendant l'intervalle de temps \[\Delta t\]

  • à l'instant \[t+\Delta t\] de la réunion du système \[{\cal S}\] et de la matière sortie pendant l'intervalle de temps \[\Delta t\]

Schématisation d'un système ouvert pour lui appliquer le second principe. | Jacques Schwartzentruber | Informations complémentaires...Informations
Schématisation d'un système ouvert pour lui appliquer le second principe.Informations[2]

Ce système \[{\cal F}\] est bien fermé pendant l'intervalle de temps \[\Delta t\]

L'entropie du système \[{\cal F}\] aux instants initial (\[t\]) et final (\[t+\Delta t\]) s'écrit :

\[\begin{array}{ccc}{S}_{\cal F}\left(t\right)& =& {S}_{\cal S}\left(t\right)+{S}_{\mathrm{in}}\\ {S}_{\cal F}\left(t+\Delta t\right)& =& {S}_{\cal S}\left(t+\Delta t\right)+{S}_{\mathrm{out}}\end{array}\]

où \[{S}_{\mathrm{in}}\] et \[{S}_{\mathrm{out}}\] sont les entropies respectives de la matière qui est entrée dans le système et de celle qui en est sortie pendant l'intervalle de temps \[\Delta t\].

\[\Delta {S}_{\cal F}=\Delta {S}_{\cal S}+{S}_{\mathrm{out}}-{S}_{\mathrm{in}}\]

Appliquons donc le second principe au système \[{\cal F}\] :

\[\Delta {S}_{\cal F}={\Delta }_{i}{S}_{\cal S}+\sum \frac{\dot{Q}_{p}\Delta t}{{T}_{p}}\]

la somme du second membre portant sur tous les échanges de chaleur du système \[{\cal S}\] : l'élément \[p\] du système, à la température \[{T}_{p}\] , reçoit de l'extérieur la puissance thermique \[\dot{Q}_{p}\].

Il vient donc :

\[{\Delta }_{i}{S}_{\cal S}=\Delta {S}_{\cal S}+{S}_{\mathrm{out}}-{S}_{\mathrm{in}}-\sum \frac{\dot{Q}_{p}\Delta t}{{T}_{p}}\]

Le premier membre de cette équation représente la génération d'entropie au sein du système \[{\cal S}\].

En divisant cette équation par \[\Delta t\], et en faisant tendre \[\Delta t\] vers 0, il vient :

\[\dot{S}_{\mathrm{gen}}=\frac{{dS}_{\mathrm{S}}}{dt}+\dot{S}_{\mathrm{out}}-\dot{S}_{\mathrm{in}}-\sum \frac{\dot{Q}_{p}}{{T}_{p}}\ge 0\]

où \[\dot{{S}_{\mathrm{gen}}}\] est la vitesse de génération d'entropie (en W/K), liée aux irréversibilités ̇ dont le système \[{\cal S}\] est le siège. Cette grandeur est toujours positive ou nulle. \[\dot{{S}_{\mathrm{in}}}\] et \[\dot{{S}_{\mathrm{out}}}\] sont les entropies transportées par les débits de matière (produit du débit massique par l'entropie massique).

Pour un système ouvert en régime permanent (\[{S}_{\mathrm{S}}=\mathrm{constante}\]) , il vient :

\[\dot{S}_{\mathrm{gen}}=\dot{S}_{\mathrm{out}}-\dot{S}_{\mathrm{in}}-\sum \frac{\dot{Q}_{p}}{{T}_{p}}\ge 0 \]

Même si le système \[{\cal S}\] a une entropie constante, il peut générer de l'entropie (dès qu'il est le siège de phénomènes irréversibles). Cette entropie produite est évacuée, soit par les débits de matière, soit en cédant de la chaleur avec l'extérieur.