Approche différentielle : la loi de Paris
Les courbes de Wölher donnent seulement des informations sur la durée de vie des matériaux soumis à des cycles de contrainte. Elles ne renseignent en rien sur les mécanismes d’initiation et de propagation des fissures. L’initiation des fissures dans un matériau soumis à des cycles de fatigue relève de processus complexes qu’il est difficile de modéliser. Nous verrons par la suite comment on peut les décrire qualitativement. En revanche, on sait modéliser analytiquement avec une bonne précision les phénomènes de propagation des fissures après qu’elles aient été amorcées. Généralement, le paramètre estimé est la vitesse de propagation de la fissure que l’on détermine en exploitant les résultats d’un essai de tolérance au dommage. L’essai consiste à générer, typiquement au droit d’un trou, une préfissuration en soumettant le matériau, sous la forme d’une éprouvette plate par exemple (voir Fig.), à des cycles de fatigue (Fig. suivante). L’idée est d’initier au sein du matériau une fissure susceptible de se propager au cours des cycles de chargement cumulés qui suivent (voir dernière Fig.).
La longueur \(a\) de la fissure est mesurée en fonction du nombre de cycles, soit optiquement à l’aide de caméras par exemple, soit électriquement en mettant à profit l’augmentation de résistance électrique, préalablement calibrée, au fur et à mesure que les dimensions du ligament de l’éprouvette, parcourue par un courant électrique, diminuent. La vitesse de propagation, exprimée en mm/cycle, est alors directement calculée. La vitesse de propagation de fissure croît continûment depuis l’amorçage jusqu’à la rupture finale, brutale et catastrophique de l’éprouvette. Si son évolution en fonction de la taille de la fissure est mal maîtrisée au cours de la période d’amorçage, qui peut être longue, et au cours de la période de rupture finale (toujours excessivement courte), elle suit en revanche une loi très simple dans la période intermédiaire correspondant à une propagation lente, stable et parfaitement prédictible. Dans le domaine de propagation stable, la loi de Paris régit cette évolution et s’exprime par :
\(\frac{\mathrm{d}a}{\mathrm{d}N} = C \cdot \Delta K ^m\)
où \(C\) et \(m\) sont des constantes caractéristiques du matériau et \(\Delta K\) est la variation du facteur d’intensité de contrainte. Il vient :
\(\frac{\mathrm{d}a}{\mathrm{d}N} = C \cdot \alpha ^m \cdot \Delta \sigma ^m \cdot \pi^{m/2} \cdot a ^{m/2}\),
et donc \(\mathrm{d}N = \frac{\mathrm{d}a}{\lambda \cdot a ^{m/2}}\),
avec \(\lambda = C \cdot \alpha^m \cdot \Delta \sigma ^m \cdot \pi ^{m/2}\).
Le nombre de cycles \(\Delta N= N_2-N_1\) nécessaires pour accroître la taille d’une fissure de \(\Delta a =a_2-a_1\) s’écrit donc :
\(N_2 - N_1 = \frac{1}{\lambda} \int_{a_1}^{a_2}{ \frac{\mathrm{d}a}{a^{m/2}}}\)