Exercice : Mesures granulométriques à l'aide d'une pipette d'Andreasen
Une pipette d'Andreasen est utilisée pour déterminer la distribution de taille des particules d'un échantillon de ciment de masse volumique \(\rho _s={3000}{\, \rm kg/m^3}\). Le liquide de sédimentation est une solution aqueuse de \({10}{\, g}\) par litre d'un polymère ayant une viscosité de \({4 .10^{-3}}{\, \rm Pa.s}\). Des prélèvements de \({10}{\, \rm ml}\) de suspension sont pris (en bas du récipient de sédimentation) à différents moments et la quantité de ciment recueilli est déterminée par séchage et pesée. La hauteur de liquide initiale est de \({20}{\, \rm cm}\) et le diamètre du récipient de sédimentation est de \({6}{\, \rm cm}\).
Prélèvement | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
Temps (minutes) | 1 | 5 | 15 | 45 | 150 | 450 | \({24}{\, \rm h}\) | |
Poids de ciments (g) | 0,300 | 0,298 | 0,243 | 0,225 | 0,150 | 0,060 | 0,015 | 0,003 |
Question
Présenter les résultats sous la forme d'une distribution de taille de particules cumulée.
Indice
Principe :
La détermination granulométrique par pipette d'Andreasen est une méthode basée sur la sédimentation des particules dans un liquide (masse volumique \(\rho_l\)). En supposant que le régime est laminaire (on travaille en pratique avec des liquides visqueux) et que les particules ont atteint leur vitesse terminale de chute , la vitesse de sédimentation suit la loi de Stokes : \(u_T = \frac{\left(\rho_s -\rho_l \right) g d_{\rm stk}^2}{18\mu}\) elle dépend donc de leur diamètre (\(d_{\rm stk}\) diamètre de sphère équivalente en vitesse de chute).
Remarque : en pratique, il faut s'assurer d'avoir suffisamment de particules pour pouvoir procéder à des analyses, mais assez peu pour qu'elles sédimentent indépendamment les unes des autres. La concentration de la suspension est en général comprise entre \({0,05}{\, \%}\) et \({1}{\, \%}\) en volume.
On part d'une suspension homogène contenue dans la pipette d'Andreasen. Au cours du temps les particules sédimentent, d'autant plus vite que leur diamètre est important. On se place à une profondeur donnée : la concentration en particules reste la même pendant un certain temps qui correspond au temps nécessaire aux plus grosses particules pour sédimenter sur la hauteur correspondante. À partir de ce moment là, la concentration en particules observée en ce point décroît en fonction du temps. Si l'on prélève un échantillon à un instant t on considère donc que les particules qu'il contient ont toutes une taille inférieure au diamètre \(d_{\rm stk}\) correspondant à la vitesse nécessaire pour sédimenter sur hauteur égale à la profondeur d'observation pendant le temps \(t\). En effet, la vitesse des particules représente leur hauteur de sédimentation pendant un temps donné :
\(u_T = \frac{h_{\textrm{sédim}}}{t_{\textrm{ sédim}}}\).
L'origine des temps est prise au moment où la concentration en particules n'est plus constante.
Solution
À chaque prélèvement de volume \(V\), la hauteur de suspension contenue dans la pipette de diamètre \(d\) diminue de :
\(\Delta h = \frac{V}{\frac{\pi}{4}d^2}\)
soit \(\Delta h = {0,354}{\, \rm cm}\) pour un prélèvement de \({10}{\, \rm ml}\).
La solution de sédimentation est une solution aqueuse de \({10}{\, \rm g}\) par litre d'un polymère, sa masse volumique est donc \(\rho_l = {1010}{\, \rm kg/m^3}\).
Suivant la loi de Stokes appliquée à notre système :
\(u_T=271137,5 d_{\rm stk}\, {\, \rm m/s}\) avec \(d_{\rm stk}\) en \({ \rm m}\).
Si \(h\) est la hauteur de sédimentation (profondeur du point d'observation) en \({\rm cm}\) et \(t\) le temps en minutes, on a :
\(d_{\rm stk} = 2,48.10^{-5} \sqrt{\frac{h}{t}}\) en \({\, \rm \mu m}\).
D'après les données de l'énoncé on peut alors établir la distribution granulométrique, d'abord en masse cumulée en « Plus Petit Que » :
\(H\), \({cm}\) | \(T\), \({min}\) | \(d_{\rm stk}\), \({\mu m}\) | \(\sum m_i\), \({g}\) | \(\sum m_i\), \({\%}\) |
|---|---|---|---|---|
20 | 0 | 0,300 | 100 | |
19,65 | 1 | 109,92 | 0,298 | 99,33 |
19,29 | 5 | 48,71 | 0,243 | 81 |
18,94 | 15 | 27,87 | 0,225 | 75 |
18,58 | 45 | 15,94 | 0,150 | 50 |
18,23 | 150 | 8,65 | 0,060 | 20 |
17,88 | 450 | 4,94 | 0,015 | 5 |
17,52 | 1440 | 2,74 | 0,003 | 1 |
Et en version différentielle, pour le calcul des diamètres moyens :
\(d_{\rm min}\), \({\mu m}\) | \(d_{\rm max}\), \({\mu m}\) | \(d_{i}\), \({\mu m}\) | \(\sum m_i\), \({\%}\) | \(m_i\), \({\%}\) |
|---|---|---|---|---|
109,9 | 100 | 0,67 | ||
48,71 | 109,9 | 79,31 | 99,33 | 18,33 |
27,87 | 48,71 | 38,29 | 81 | 6 |
15,94 | 27,87 | 21,91 | 75 | 25 |
8,65 | 15,94 | 12,3 | 50 | 30 |
4,94 | 8,65 | 6,8 | 20 | 15 |
2,74 | 4,94 | 3,84 | 5 | 4 |
0 | 2,74 | 1,37 | 1 | 1 |
Question
Déterminer le diamètre moyen en poids.
Solution
Le diamètre moyen en poids (ou en volume) est :
\(d_m=\frac{\sum_{i=1}^8 n_i d_i^4}{\sum_{i=1}^8 n_i d_i^3}=\frac{\sum_{i=1}^8 m_i d_i}{\sum_{i=1}^8 m_i}=24,2\)