Exercice : Caractérisation d'une poudre céramique
La distribution granulométrique d'un poudre céramique sous forme de plaquettes est déterminé avec un microscope optique couple à l'analyse d'image. La calibration du microscope montre que un pixel est équivalent à \(1 \, \mu \textrm{m}^2\). La masse volumique du matériau est \(3000 \textrm{ kg / m}^3\).
Taille des particules en pixels | Nombre de particules |
|---|---|
\(< 25\) | 0 |
\(> 25 \leq 50\) | 351 |
\(> 50 \leq 100\) | 2502 |
\(> 100 \leq 200\) | 6335 |
\(> 200 \leq 360\) | 5973 |
\(> 360 \leq 784\) | 2534 |
\(> 784 \leq 1520\) | 262 |
\(> 1520\) | 0 |
Question
Déterminer le mode de la distribution en micromètres (\(\mu \textrm{m}\)).
Solution
La surface (\(S\)) observée est la surface projetée des particules, à partir de laquelle on peut calculer un diamètre de sphère équivalente en surface projetée (\(d\)). Ils sont liés par la relation suivante : \(S=\frac{\pi}{4}d^2\). La répartition granulométrique est établie dans le tableau ci-dessous où les surfaces sont données en \(\mu \textrm{m}^2\) et les diamètres en \(\mu \textrm{m}\) :
\(S_{\rm min}\) | \(S_{\rm max}\) | \(d_{\rm min}\) | \(d_{\rm max}\) | \(d_i\) | \(n_i\) | \(n_i\) en \({\%}\) |
0 | 25 | 0 | 5,64 | 2,82 | 0 | 0 |
25 | 50 | 5,64 | 7,94 | 6,81 | 351 | 1,95 |
50 | 100 | 7,94 | 11,28 | 9,63 | 2502 | 13,93 |
100 | 200 | 11,28 | 15,96 | 13,62 | 6335 | 35,28 |
200 | 360 | 15,96 | 21,41 | 18,68 | 5973 | 33,26 |
360 | 784 | 21,41 | 31,59 | 26,5 | 2534 | 14,11 |
784 | 1520 | 31,59 | 43,99 | 37,79 | 262 | 1,46 |
1520 | 43,99 | 0 | 0 |
Le mode de la distribution est le diamètre moyen de la classe la plus fréquentée : \(13,6 \mu \textrm{m}\).
Question
Calculer le diamètre moyen en nombre (\(X_n\)).
Solution
\(d_n = \frac{\sum_{i=1}^8 n_i}{\sum_{i=1}^8 n_i}\)
\(d_n = 16,8 \, \mu { \rm m}\)
Question
Calculer le diamètre moyen en surface/volume (\(X_{SV}\)).
Solution
Le diamètre moyen en surface/volume s'exprime de la façon suivante :
\(d_{SV}= \frac{\sum_{i=1}^8 n_i d_i^3}{\sum_{i=1}^8 n_i d_i^2} = \frac{\sum_{i=1}^8 m_i}{\sum_{i=1}^8 \frac{m_i}{d_i}}\)
\(n_i\) étant le nombre de particules dans la classe de taille \(i\) (taille \(d_i\))
\(d_{SV}=20,9\, \mu {\rm m}\)
Question
Calculer la surface spécifique en \({\rm m^2/g}\).
Solution
\(S_0=\frac{\sum_{i=1}^8 n_i \pi d_i^2}{\sum_{i=1}^8 n_i \frac{\pi}{6} d_i^3}=6 \frac{\sum_{i=1}^8 n_i d_i^2}{\sum_{i=1}^8 n_i d_i^3}=6 \frac{\sum_{i=1}^8 \frac{m_i}{d_i}}{\sum_{i=1}^8 m_i}\)
d'où \(S_0 =\frac{6}{d_{SV}}\) en \({\rm m^{-1}}\) et \(S_0 =\frac{6}{\rho d_{SV}}\)en \({\rm m^2/g}\)
et \(S_0 =0,095 \, { \rm m^2/g}\)
Question
Une granulométrie faite à l'aide d'un Compteur-Coulter donne un diamètre moyen en volume (\(X_V\)) de \(21 \,\mu {\rm m}\).
Quelle conclusion tirez-vous ?
Solution
Afin de comparer les résultats il faut calculer le diamètre moyen en volume correspondant à l'analyse d'image :
\(d_m = \frac{\sum_{i=1}^8 n_i d_i ^4}{\sum_{i=1}^8 n_i d_i ^3} =23,2 \, \mu {\rm m}\)
Le compteur Coulter donne comme résultat un diamètre équivalent en volume alors que l'analyse d'image donne un diamètre équivalent en surface projetée. Les diamètres des deux analyses sont quasiment identiques, ce qui signifie que la dimension supplémentaire n'a pas d'influence sur le résultat : les particules ont plutôt une forme tri-dimensionnelle. En effet, si elles étaient sous forme de plaquettes de faible épaisseur, alors le diamètre de sphère équivalente en volume serait plus petit.
Pour vérifier, vous pouvez faire le calcul du diamètre de sphère équivalente en volume pour des pastilles de diamètre de base 21 microns et d'épaisseur 5 microns ...