Sciences et Technologies des Poudres

Le diamètre de sphère équivalente en volume \(d_V\) est le diamètre de la sphère qui a le même volume \(V\) que les fibres cylindriques de diamètre \(d\) et de longueur \(l\). On peut donc écrire :

\(V=l\frac{\pi}{4}d^2=\frac{\pi}{6}d_V^3\)

d'où :

\(d_V = \sqrt[3]{\frac{3}{2} l d^2}\)

Pour les fibres de type 1 : \(d_{V_1} = {24,7}{\, \mu \rm m}\)

Pour les fibres de type 2 : \(d_{V_2} ={49,3}{\, \mu \rm m}\)

Pour les fibres de type 3 : \(d_{V_3} = {74}{\, \mu \rm m}\)

Le diamètre moyen en volume du mélange des trois types de fibres est par définition :

\(\bar{d_V} =\frac{\sum_{i=1}^3 V_i d_{V_i}}{\sum_{i=1}^3 V_i}=\frac{\sum_{i=1}^3 m_i d_{V_i}}{\sum_{i=1}^3 m_i}\)

où \(v_i\) et \(m_i\) représentent respectivement le volume total et la masse totale des particules de type \(i\) impliquées dans le mélange.

Avec \(m_i = {200}{\, \rm g}\) pour \(i=1,3\) on obtient :

\(\bar{d_V}={49,3}{\, \mu \rm m}\)

Le diamètre moyen en nombre du mélange des trois types de fibres est par définition :

\(\bar{d_n}=\frac{\sum_{i=1}^3 n_i d_{V_i}}{\sum_{i=1}^3 n_i}\)

avec

\(n_i = \frac{m_i}{\rho \frac{\pi}{6}d_{V_i}^3}\)

où les fibres de masse volumique \(\rho\) sont représentées par leurs sphères équivalentes en volume.

Il vient :

\(\bar{d_n}=\frac{\sum_{i=1}^3 \frac{m_i}{d_{V_i }^2}}{\sum_{i=1}^3 \frac{m_i}{d_{V_i}^3}}\)

et ainsi \(\bar{d_n}={28,9}{\, \mu \rm m}\)

On remarque que le diamètre moyen en nombre est inférieur au diamètre moyen en volume. En effet dans la moyenne en nombre, toutes les particules ont la même influence alors que dans la moyenne en volume, les particules les plus grosses en ont beaucoup plus (on peut se souvenir que le volume d'une particule de \({10}{\, \mu \rm m}\) est égal au volume de 1000 particules de \({1}{\, \mu \rm m}\)).

Le diamètre de Sauter du mélange des trois types de fibres est par définition :

\(\bar{d_{SV}} = \frac{\sum_{i=1}^3 n_i  d_{V_i}^3}{\sum_{i=1}^3 n_i d_{V_i}^2}=\frac{\sum_{i=1}^3 m_i}{\sum_{i=1}^3 \frac{m_i}{d_{V_i}}} = {40,4}{\, \mu \rm m}\)

La surface spécifique \(S_0\) du mélange est égale à la surface totale développée par les particules, divisée par le volume total des particules qui le constituent. Si \(n_i\) est le nombre de particules de type i dans le mélange, on peut écrire :

\(S_0 = \frac{\sum_{i=1}^3 n_i \pi d_{V_i}^2}{\sum_{i=1}^3 n_i \frac{\pi}{6} d_{V_i}^3}\)

On peut simplifier cette expression par :

\(S_0 = \frac{6}{\bar{d_{SV}}}\)

(voir définition de \(\bar{d_{SV}}\) ou réponse à la question précédente).

D'où \(S_0 = {148,5.10^{3}}{\, \rm m^2/m^3}\).

La masse volumique apparente d'une poudre en vrac est égale à la masse de poudre ramenée au volume total occupé par le produit (ici le volume occupé dans le récipient cylindrique).

\(\textrm{Volume} = 15.10^{-2} \times \frac{\pi}{4} (0,1)^2 = {1,178.10^{-3}}{\, \rm m^3}\)

\(\textrm{Masse} = 3 \times 0,2 = {0,6}{\, \rm kg}\)

D'où :

\(\rho_{\rm app} = {509,3}{\, \rm kg/m^3}\)

La masse volumique apparente d'une poudre en vrac est égale à la masse de poudre ramenée au volume total occupé par le produit (ici le volume occupé dans le récipient cylindrique).

\(\textrm{Volume} = 10.10^{-2} \times \frac{\pi}{4} (0,1)^2 = {7,854 .10^{-4}}{\, \rm m^3}\)

\(\textrm{Masse} = 3 \times 0,2 = {0,6}{\, \rm kg}\)

D'où :

\(\rho_{\rm app} = {763,9}{\, \rm kg/m^3}\)

Le rapport d'Hausner est le rapport des masses volumiques apparentes tassée et non tassée :

Hausner = 1,5.

La coulabilité du produit n'est sûrement pas très bonne.

Si l'on suppose que le milieu est uniforme sur toute sa hauteur, son rayon hydraulique est :

\(r_h=4\frac{\varepsilon}{\left(1-\varepsilon\right)S_0}\), où \(\varepsilon\) est la porosité du lit de particules et \(S_0\) sa surface spécifique.

\(S_0\) a été calculée à la question 5 : \(S_0 = {148,5.10^{3}}{\, \rm m^2/m^3}\)

Par ailleurs la porosité est le rapport entre le volume de vide et le volume total du lit de particules. Dans le cylindre où est déversé le mélange, le volume de vide est égal au volume total (\(V_{\rm total}\)) occupé par le lit de poudre diminué du volume de solide qu'il est possible de calculer à partir de sa masse volumique vraie (\(\rho = {2500}{\, \rm kg/m^3}\)) et de la masse totale déversée (\(M = {0,6}{\, \rm kg}\)) :

\(\varepsilon =\frac{V_{\rm total}-\frac{M}{\rho}}{V_{\rm total}}\)

\(V_{\rm total}= 15 .10^{-2} \times \frac{\pi}{4} (0,1)^2 = {1,178.10^{-3}}{\, \rm m^3}\)

\(\varepsilon = 0,8\)

\(r_h = {108}{\, \rm \mu m}\)

\(r_h=4\frac{\varepsilon}{\left(1-\varepsilon \right) S_0}\)

\(S_0 = {148,5.10^{3}}{\, \rm m^2/m^3}\)

\(\varepsilon = \frac{V_{\rm total}-\frac{M}{\rho}}{V_{\rm total}}\)

\(\rho = {2500}{\, \rm kg/m^3}\)

\(M = {0,6}{\, \rm kg}\)

\(V_{\rm total} = 10.10^{-2} x \frac{\pi}{4} (0,1)^2 = {7,854.10^{-4}}{\, \rm m^3}\)

\(\varepsilon = 0,7\)

\(r_h = {62,7}{\, \rm \mu m}\)