Énergie dissipée et cascade des tailles de tourbillons : échelles caractéristiques

La formule donnant la puissance dissipée par unité de masse \[{\epsilon }_{M}\][1], dans une cuve agitée de volume \[{V}_{T}\], où la vitesse périphérique du mobile d’agitation\[{u}_{\mathrm{tip}}\][2] de diamètre \[D\] est \[{u}_{\mathrm{tip}}=\pi \mathrm{ND}\], est :

\[{\epsilon }_{M}=\frac{{N}_{p}{N}^{3}{D}^{5}}{{V}_{T}}\]

est aussi parfois appelé taux de dissipation de l'énergie turbulente. Si la cuve est de forme cylindrique de diamètre \[{D}_{T}\] et de hauteur \[H\], la formule ci-dessus devient :

\[{\epsilon }_{M}=\frac{4}{\pi }{N}_{p}{N}^{3}{D}^{2}{\left(\frac{D}{{D}_{T}}\right)}^{2}\frac{D}{H}=\frac{4}{{\pi }^{4}}{N}_{p}{\left(\frac{D}{{D}_{T}}\right)}^{2}\frac{{u}_{\mathrm{tip}}^{3}}{H}\]

  • En régime turbulent (Nombre de Reynolds d'agitateur \[{\mathrm{Re}}_{A}\][3], et \[{\mathrm{Re}}_{A}>10000\]), le nombre de puissance \[{N}_{p}\][4] ne varie pas avec la puissance d’agitation.

  • En régime laminaire (\[{\mathrm{Re}}_{A}<10\]), le nombre de puissance \[{N}_{p}\][4] varie comme \[\frac{A}{{\mathrm{Re}}_{A}}\], où \[A\] est une constante fonction du type de mobile.

  • Entre ces deux valeurs de \[{\mathrm{Re}}_{A}\] on est en régime intermédiaire.

Dans un tube de diamètre \[{D}_{t}\][5] parcouru par un fluide en écoulement turbulent (\[\mathrm{Re}<2000\]) à la vitesse moyenne \[U\], la chute de pression \[{dp}\] sur une longueur \[{dL}\] s'exprime par :

\[{\epsilon }_{M}=\frac{f}{2}\cdot \frac{{U}_{L}^{3}}{{D}_{t}}\]

Définition

\[f\][6] s'appelle le facteur de frottement et il est corrélé au nombre de Reynolds de l'écoulement dans le tube [7].

Par conséquent, la puissance dépensée par unité de masse de fluide est donnée par :

\[{\epsilon }_{M}=\frac{Q{dp}}{\rho {dV}}=\frac{f}{2}\frac{{U}_{L}^{3}}{{D}_{t}}\]

  • En régime laminaire (\[\mathrm{Re}<100\]), \[f=\frac{64}{\mathrm{Re}}\] et

\[{\epsilon }_{M}=\frac{32\nu {U}_{L}^{2}}{{D}_{t}^{2}}\]

  • En régime turbulent (\[\mathrm{Re}>2000\]),

\[f=0,32R{e}^{-1/4}\]

  • En régime turbulent stationnaire, l'énergie engendrée par le mouvement du fluide se transfère des plus gros tourbillons vers les plus petits et se dégrade par frottement visqueux dans les petits tourbillons et sur les parois.