Le bilan de population écrit sous forme de moments avec agglomération : cas d'un noyau d'agglomération constant

Le bilan de population écrit en fonction de la variable volume \[{v}_{p}\] s'écrit :

\[\begin{array}{cc}\frac{1}{V}\frac{\partial }{\partial t}\left({n}_{v}V\right)-B\delta \left({v}_{p}-{v}_{\mathrm{pc}}\right)+\frac{\partial \left[{n}_{v}{G}_{v}\right]\left(t\right)}{\partial {v}_{p}}+\frac{\left({Q}_{e}.{n}_{\mathrm{ve}}\left(t\right)-{Q}_{s}.{n}_{\mathrm{vs}}\left(t\right)\right)}{V}\mathrm{=}\\ \frac{1}{2}{\int }_{0}^{{v}_{p}}{\beta }_{\mathrm{AG}}{n}_{v}\left({v}_{\mathrm{pl}}\right){n}_{v}\left({v}_{p}-{v}_{\mathrm{pl}}\right){{dv}}_{\mathrm{pl}}-{n}_{v}\left({v}_{p}\right){\int }_{0}^{\infty }{\beta }_{\mathrm{AG}}{n}_{v}\left({v}_{p}^{\mathrm{'}}\right){{dv}}_{p}^{\mathrm{'}}\end{array}\]

(voir le chapitre Agglomération, l'Expression du bilan de population pour l'agglomération[1])

On peut introduire le moment du terme d'agglomération en fonction de la :

  • variable taille \(L\) : \[{M}_{k,\mathrm{AG}}={\int }_{0}^{\infty }{R}_{\mathrm{AG}}^{\mathrm{net}}{L}^{j}{dL}\]

  • variable volume \[{v}_{p}\] : \[{M}_{v,k,\mathrm{AG}}={\int }_{0}^{\infty }{R}_{\mathrm{AG}}^{\mathrm{net}}{v}_{p}^{j}{{dv}}_{p}\]

Pour un noyau d'agglomération indépendant de la taille (ou volume), on a :

\[{M}_{v,0,\mathrm{AG}}=-{\beta }_{\mathrm{AG}}\frac{{m}_{v,0}^{2}}{2}\] ou \[{M}_{v,0,\mathrm{Ag}}=-{\beta }_{\mathrm{AG}}\frac{{m}_{0}^{2}}{2}\]

\[{M}_{v,1,\mathrm{AG}}=0\]

\[{M}_{v,2,\mathrm{AG}}={\beta }_{\mathrm{AG}}{m}_{v,1}^{2}\] ou \[{M}_{v,2,\mathrm{AG}}={\beta }_{\mathrm{AG}}{\phi }_{v}^{2}{m}_{3}^{2}\]

(voir le chapitre Agglomération, le paragraphe concernant le Noyau d'agglomération constant[2])