Le bilan de population écrit sous forme de moments sans agglomération

Le bilan de population, en ne considérant pas l'agglomération, s'écrit :

\[\frac{1}{V}\frac{\partial }{\partial t}\left(n\left(t\right)V\right)=B\delta \left(L-{L}_{c}\right)-\frac{\partial \left[\mathrm{nG}\right]\left(t\right)}{\partial L}+\frac{\left({Q}_{e}.{n}_{e}\left(t\right)-{Q}_{s}.{n}_{s}\left(t\right)\right)}{V}\]

La transformation de l'équation du bilan de population écrite en termes de densité de population en équation utilisant les moments se fait en multipliant l'équation par \[{L}^{j}{dL}\] et en intégrant cette équation entre 0 et l'infini (toutes les tailles possibles).

\[\begin{array}{rcl}{\int }_{0}^{\infty }\left(\frac{1}{V}\frac{\partial }{\partial t}\left(Vn\left(t\right){L}^{j}\right)\right){dL}&=&{\int }_{0}^{\infty }\left(B{L}^{j}\delta \left(L-{L}_{c}\right)\right){dL}-{\int }_{0}^{\infty }\left(\frac{\partial \left[nG\right]\left(t\right)}{\partial L}{L}^{j}{dL}\right)\\~&+&{\int }_{0}^{\infty }\left(\frac{\left({Q}_{e}.{n}_{e}\left(t\right){L}^{j}-{Q}_{s}.{n}_{s}\left(t\right){L}^{j}\right)}{V}\right){dL}\end{array}\]

Remarque

En milieu homogène, \(n_s (t, L) = n (t, L)\) pour toutes les classes de tailles. On a donc : \(n_s (t) = n (t)\)

En décomposant l'équation

Terme d'accumulation :

\[{\int }_{0}^{\infty }\left(\frac{{L}^{j}}{V}\frac{\partial }{\partial t}\left(Vn\left(t\right)\right)\right){dL}=\left(\frac{1}{V}\frac{\partial }{\partial t}\left(V{\int }_{0}^{\infty }n\left(t\right){L}^{j}{dL}\right)\right)=\left(\frac{1}{V}\frac{\partial }{\partial t}\left(V{m}_{j}\right)\right)\]

Terme concernant la nucléation :

En tenant compte des propriétés de la fonction Dirac ( voir Écriture générale du bilan de population[1]), on obtient :

\[{\int }_{0}^{\infty }\left(B{L}^{j}\delta \left(L-{L}_{c}\right)\right){dL}={L}_{c}^{j}B\]

soit comme \[{L}_{c}\to 0\],

\[{\int }_{0}^{\infty }\left(B{L}^{j}\delta \left(L-{L}_{c}\right)\right){dL}={\left(0\right)}^{j}B\]

d'où

\[{\int }_{0}^{\infty }\left(B{L}^{j}\delta \left(L-{L}_{c}\right)\right){dL}=B,\mathrm{si}j=0\]
\[{\int }_{0}^{\infty }\left(B{L}^{j}\delta \left(L-{L}_{c}\right)\right){dL}=0,\mathrm{si}j>0\]

Terme concernant la croissance :

Dans le cas où \(G\) est indépendant de la taille, et utilisant une intégration par partie \[{\int }_{a}^{b}U\mathrm{'}V={\left(UV\right)}_{a}^{b}-{\int }_{a}^{b}UV\mathrm{'}\] on obtient

\[{\int }_{0}^{\infty }\left(\frac{\partial \left[nG\right]\left(t\right)}{\partial L}{L}^{j}{dL}\right)=G{\int }_{0}^{\infty }{L}^{j}\frac{\partial n}{\partial L}{dL}=G{\left({L}^{j}n\right)}_{0}^{\infty }-Gj{\int }_{0}^{\infty }n{L}^{j-1}{dL}\]

comme \[{\left({L}^{j}n\left(L\right)\right)}_{L\to \infty }=0\] et \[{\left({L}^{j}n\left(L\right)\right)}_{L\to 0}=0\], on a

\[{\int }_{0}^{\infty }\left(\frac{\partial \left[nG\right]\left(t\right)}{\partial L}{L}^{j}{dL}\right)=-Gj{m}_{j-1}\]

Terme concernant les termes d'entrée et de sortie du cristallisoir :

\[{\int }_{0}^{\infty }\left(\frac{\left({Q}_{e}.{n}_{e}\left(t\right){L}^{j}-{Q}_{s}.{n}_{s}\left(t\right){L}^{j}\right)}{V}\right){dL}=\left(\frac{\left({Q}_{e}{\int }_{0}^{\infty }{n}_{e}\left(t\right){L}^{j}{dL}-{Q}_{s}{\int }_{0}^{\infty }{n}_{s}\left(t\right){L}^{j}{dL}\right)}{V}\right)=\frac{\left({Q}_{e}{m}_{j}^{e}-{Q}_{s}{m}_{j}^{s}\right)}{V}\]

Définition

Le bilan de population en termes de moments sans agglomération s'écrit donc :

\[\left(\frac{1}{V}\frac{\partial }{\partial t}\left(V{m}_{j}\right)\right)={\left(0\right)}^{j}B+Gj{m}_{j-1}+\frac{\left({Q}_{e}{m}_{j}^{e}-{Q}_{s}{m}_{j}^{s}\right)}{V}\]

\[\left(\frac{1}{V}\frac{\partial }{\partial t}\left(V{m}_{j}\right)\right)={\left(0\right)}^{j}B+Gj{m}_{j-1}+\frac{\left({Q}_{e}{m}_{j}^{e}-{Q}_{s}{m}_{j}^{s}\right)}{V}\]