Exercice : Calcul de la vitesse terminale de chute et du nombre de Reynolds particulaire
Question
Calculer la vitesse terminale de chute \[{u}_{\mathrm{te}}\][1] et le nombre de Reynolds particulaire \[{\mathrm{Re}}_{p}\][2] correspondant :
a. Pour un colloïde d'or de diamètre 20 nm dans l'eau.
b. Pour une cristallite de sulfate de baryum de 40 nm dans l'eau.
c. Pour un cristal de calcite de 5 µm dans l'eau.
d. Pour une bulle d'air dans l'eau de 1 mm.
e. Pour une bille de verre de diamètre 1 mm dans l'eau.
f. Pour une bille de verre de diamètre 1 mm dans le glycérol.
Données :
masses volumiques (kg.m-3) : or (19200) ; sulfate de baryum (4500) ; calcite (2710) ; verre (2500) ; glycérol (1260)
viscosités dynamiques (Pa.s) à 20°C : eau (0.001) ; glycérol (1)
Solution
On utilisera les équations \[{U}_{tc}={\left(\frac{{4d}_{P}}{{3C}_{D}}g\left({\rho }_{S}-{\rho }_{L}\right)/{\rho }_{L}\right)}^{1/2}\] (voir Sédimentation d'une particule isolée[3]) et l'expression du coefficient de traînée (régime de Stokes ou Van Allen, voir le tableau[4]). Le choix entre ces deux régimes se fera en fonction de l'ordre de grandeur supposé du nombre de Reynolds. On vérifiera a posteriori que le nombre de Reynolds calculé appartient bien à l'intervalle choisi initialement pour le nombre de Reynolds.
a. \[U\left({\mathrm{ms}}^{–1}\right)=4×{10}^{–9}\] \[{\mathrm{Re}}_{p}=8×{10}^{–11}\] régime de Stokes
b. \[U\left({\mathrm{ms}}^{–1}\right)=3×{10}^{–9}\] \[{\mathrm{Re}}_{p}=1,2×{10}^{–10}\] régime de Stokes
c. \[U\left({\mathrm{ms}}^{–1}\right)=2,3×{10}^{–5}\] \[{\mathrm{Re}}_{p}=1,2×{10}^{–4}\] régime de Stokes
d. \[U\left({\mathrm{ms}}^{–1}\right)=0,108\] \[{\mathrm{Re}}_{p}=108\] régime intermédiaire (Van Allen)
e. \[U\left({\mathrm{ms}}^{–1}\right)=0,145\] \[{\mathrm{Re}}_{p}=145\] régime intermédiaire (Van Allen)
f. \[U\left({\mathrm{ms}}^{–1}\right)=6,8×{10}^{–4}\] \[{\mathrm{Re}}_{p}=8,7×{10}^{–4}\] régime de Stokes
Remarque :
Pour les particules nanométriques, le mouvement des particules par sédimentation est dominé par le mouvement Brownien. Pour les particules microniques (les cristaux en général), la sédimentation est soumise au régime de Stokes.