Exercice : Écoulement d'une suspension diluée dans un tube vertical

Question

Quelle est la trajectoire d'un cristal de calcite (100 µm) appartenant à une suspension diluée s'écoulant vers le haut dans un tube vertical de 1 cm de diamètre et de longueur 1 m avec une vitesse moyenne de 1 cm/s. À l'instant initial, la particule est placée (au repos) à 2 mm de l'axe du tube et à l'extrémité inférieure du tube. On supposera que le profil de vitesse dans le tube est parabolique. On s'intéressera successivement aux mouvements axial et radial.

Solution

Calculons quelques ordres de grandeur :

Si la vitesse moyenne du fluide est \[1\mathrm{cm}/s\], la vitesse maximale (sur l'axe du tube) est \[2\mathrm{cm}/s\] ; Le profil de vitesse obéit à l'équation \[{U}_{L}={U}_{L,\mathrm{max}}\left(\frac{1–{r}^{2}}{{R}^{2}}\right)\]; La vitesse du fluide à \[r=2\mathrm{mm}\] est \[{U}_{L}=0,0168m/s\] ; La vitesse de cisaillement, qui est égale à \[\dot{\gamma }=2{U}_{L,\mathrm{max}}\frac{r}{{R}^{2}}\], est nulle sur l'axe et égale à \[3,2{s}^{-1}\] à \[2\mathrm{mm}\] de l'axe. Le nombre de Reynolds particulaire[1] à l'instant initial est \[1,68\]. Le nombre de Reynolds particulaire (sous cisaillement)[2] est égal à \[1,6×{10}^{–2}\].

Question

Quelle est la vitesse limite axiale atteinte par la particule ? En combien de temps environ, la particule atteint-elle celle-ci et quelle distance approximative a-t-elle alors parcouru ?

Solution

L'équation \[{U}_{tc}={\left(\frac{{4d}_{P}}{{3C}_{D}}g\left({\rho }_{S}-{\rho }_{L}\right)/{\rho }_{L}\right)}^{1/2}\] appliquée à un écoulement de Stokes (\[{U}_{\mathrm{tc}}=\frac{{d}_{p}^{2}}{18v}g\frac{\left({\rho }_{p}–{\rho }_{L}\right)}{{\rho }_{L}}\]) conduit à \[9,2\mathrm{mm}/s\]. Il s'agit de la vitesse de la particule par rapport au fluide. La vitesse absolue de la particule est donc \[0,0076m/s\]. Le temps mis pour atteindre cette vitesse limite est (équation \[\tau ={\rho }_{S}{U}_{tc}/\left(g\left({\rho }_{S}-{\rho }_{L}\right)\right)\]) \[1,48×{10}^{-3}s\], temps négligeable devant le temps de parcours de la particule dans le tube : \[132s\]. La distance parcourue durant la période transitoire est : \[1,1×{10}^{-5}m\]. On constate qu'elle est très faible.

Question

Son déplacement radial l'entraîne-t-elle vers la paroi ou l'axe ? Calculer la vitesse limite radiale atteinte par la particule. En déduire le temps que met la particule pour rencontrer la paroi ou l'axe. Est-il négligeable ?

Solution

La particule est ramenée vers l'axe par la force de Saffman[3] (voir figure[4]), mais de plus en plus lentement, car le cisaillement y est moins élevé. Si un mouvement « quasi-stationnaire » s'instaure très rapidement, l'égalité de la force de Saffman[3] à la force de traînée[5] conduit à :

\[{F}_{p}={F}_{D}\]
\[1,61{\rho }_{L}{v}^{1/2}{U}_{\mathrm{tc}}{d}_{p}^{2}{\left(2{U}_{L,\mathrm{max}}\frac{r}{{R}^{2}}\right)}^{1/2}=–3\pi \mu {d}_{p}\frac{{dr}}{{dt}}\]

Soit après intégration :

\[\frac{1,61{\rho }_{L}{v}^{1/2}{U}_{\mathrm{tc}}{d}_{p}^{2}{\left(\frac{2{U}_{L,\mathrm{max}}}{{R}^{2}}\right)}^{1/2}}{\left(6\pi \mu \right)t}={r}_{0}^{1/2}-{r}^{1/2}\]
\[{\tau }_{{r}_{0}}=\frac{8,3\mu \mathrm{R}{r}_{0}^{1/2}}{\left[{\rho }_{L}{v}^{1/2}{U}_{\mathrm{tc}}{d}_{p}{U}_{L,\mathrm{max}}^{1/2}\right]}\]

\[{\tau }_{{r}_{0}}\] est le temps mis par la particule pour atteindre l'axe du tube. Il est égal à \[{\tau }_{{r}_{0}}=14,3\mathrm{s}\]. La particule atteint donc facilement l'axe du tube.