Exercice : Sédimentation d'une particule dans un milieu confiné

En sédimentant, une particule doit remplacer son équivalent en eau, lequel aura une vitesse ascendante non nulle en milieu confiné. Le frottement entre la particule et l'eau en sera d'autant plus élevé. Pour les besoins d'un calcul simple, la particule et son environnement proche liquide seront supposés de forme cubique.

Question

Montrer que la vitesse ascendante du fluide est telle que : \[{U}_{L}=-{U}_{p}\left({\phi }^{-2/3}-1\right)\]

Solution

L'arête de la particule cubique est notée \[d\] ; celle de son environnement fluide est notée \[D\]. Ces longueurs et la fraction volumique en particules sont liées par :

\[\phi ={\left(\frac{d}{D}\right)}^{3}\]

La surface latérale traversée par le fluide est : \[S={D}^{2}–{d}^{2}\].

La vitesse moyenne du fluide le long de la particule est le rapport entre le débit volumique ascendant et la surface traversée : \[{U}_{L}=–\frac{{d}^{3}}{S\tau }\].

\[\tau \] est le temps mis par l'équivalent volumique en fluide de la particule pour s'évacuer vers le haut. \[\tau \] est aussi égal à : \[\tau =\frac{d}{{U}_{p}}\].

On en déduit \[{U}_{L}=–{U}_{p}\left({\phi }^{–2/3}–1\right)\].

Question

Déduire du résultat précédent que \[\frac{{U}_{tc,\phi }}{{U}_{tc}}=1-{{\phi }_{S}}^{2/3}\]

Solution

La force de traînée s'écrit alors :

\[{F}_{D}=3\pi \mu {d}\left({U}_{p}–{U}_{L}\right)=3\pi \mu {d}{U}_{p}\left(\frac{1}{1–{\phi }^{2/3}}\right)\]

Les vitesses terminales de chute en milieu dilué et concentré seront donc liées par l'égalité :

\[\frac{{U}_{\mathrm{tc},\phi }}{1–{\phi }^{2/3}}={U}_{\mathrm{tc}}\]