Systèmes ouverts en régime permanent

Une situation particulièrement importante est rencontrée lorsque le système ouvert en fonctionnement continu atteint un régime permanent : un système ouvert en régime permanent échange de façon continue de la matière avec l'extérieur, mais ses variables d'état restent constantes dans le temps.

Exemple

  • une turbine tournant à vitesse constante, après une phase de mise en route, atteint un régime permanent : les températures et pression sont constantes dans le temps en tout point (mais ne sont pas homogènes dans l'espace ; en particulier, la pression diminue entre l'entrée et la sortie !).

  • un moteur à essence, une fois mis en régime, est aussi assimilable à un système ouvert en régime permanent. En dépit de son fonctionnement alternatif, si on s'impose de l'observer sur un nombre entier de cycles, on constate que les variables d'état (pression, température, composition) sont les mêmes à chaque instant d'observation.

  • les installations industrielles "à feu continu" se rapprochent toutes de systèmes ouverts en régime permanent.

Si le système \[\cal{S}\] a atteint un régime permanent, cela signifie en particulier que sa masse est constante dans le temps, et par conséquent les débits massiques d'entrée et de sortie doivent être égaux :

\[\dot{M}_{\mathrm{out}}=\dot{M}_{\mathrm{in}}\]

Les variables d'état du système étant constantes, son énergie interne (fonction d'état) l'est aussi, et \[\frac{{dU}_{\mathrm{S}}}{dt}=0\]. Le régime permanent suppose aussi que les vitesses dt de tous les points matériels du système sont constantes.

Fondamental

Pour un système ouvert en régime permanent, parcouru par un débit  de matière \[ \dot{M}\] et échangeant avec l'extérieur une puissance mécanique \[\dot{W}\] et une puissance thermique \[\dot{Q}\], on a :

\[\dot{H}_{\mathrm{out}}-\dot{H}_{\mathrm{in}}+\dot{K}_{\mathrm{out}}-\dot{K}_{\mathrm{in}}+\dot{M}g\left({z}_{\mathrm{out}}-{z}_{\mathrm{in}}\right)=\dot{W}+\dot{Q}\]

ce qui s'écrit aussi :

\[\dot{M}\left({h}_{\mathrm{out}}+\frac{1}{2}\vec{{{v}_{\mathrm{out}}}^{2}}+gz_{\mathrm{out}}-{h}_{\mathrm{in}}-\frac{1}{2}\vec{{{v}_{\mathrm{in}}}^{2}}-gz_{\mathrm{in}}\right)=\dot{W}+\dot{Q}\]

C'est l'expression du premier principe pour un système ouvert en régime permanent. On constate que par rapport à l'expression pour des systèmes fermés :

  • les variations temporelles de grandeurs comme l'énergie interne ou l'énergie cinétique sont remplacées par des variations dans l'espace, entre l'entrée et la sortie

  • l'enthalpie transportée par les débits matériels remplace l'énergie interne du système fermé

  • les puissances mécanique et thermique remplacent le travail et la chaleur La contribution du travail de la pesanteur est souvent négligeable (Il est clair qu'on ne négligera pas le travail de la pesanteur si on s'intéresse à une centrale hydraulique mue par une chute d'eau !). On peut très souvent négliger aussi les énergies cinétiques transportées par les débits de matière (il suffit que le diamètre des canalisations soit suffisamment grand).

Dans ce cas, le premier principe pour un système ouvert en régime permanent s'écrira :

\[\dot{H}_{\mathrm{out}}-\dot{H}_{\mathrm{in}}=\dot{W}+\dot{Q}\]