Expression générale

Nous considérons un système ouvert en fonctionnement continu : il reçoit en permanence des courants de matière qu'il qu'il transforme en débits de sortie (avec des propriétés en général différentes). Soient \[\dot{M}_{\mathrm{in}}\] le débit de matière en entrée, \[\dot{{M}}_{\mathrm{out}}\] le débit de matière en sortie.

Remarque

Nous ferons tout le raisonnement en ne considérant qu'un seul débit d'entrée et un seul débit de sortie, mais le résultat se généralise sans la moindre difficulté s'il y a plusieurs entrées et plusieurs sorties.

Le système reçoit aussi du travail mécanique et de la chaleur de l'extérieur.

Ces échanges sont caractérisés par une puissance mécanique \[\dot{W}\] et une puissance thermique \[\dot{Q}\].

Schématisation d'un système ouvert. | Jacques Schwartzentruber | Informations complémentaires...Informations
Schématisation d'un système ouvert.Informations[2]

Pour appliquer le premier principe, il faut d'abord pouvoir définir un système fermé à partir du système ouvert \[\cal{S}\].

Définition d'un système fermé, à partir du système ouvert. | Jacques Schwartzentruber | Informations complémentaires...Informations
Définition d'un système fermé, à partir du système ouvert.Informations[4]

On considère donc le système F défini par :

  • à l'instant "initial" \[t\], le contenu du système \[\cal{S}\] et la quantité de matière qui va pénétrer dans \[\cal{S}\] pendant l'intervalle de temps \[\Delta t\]

  • à l'instant "final" \[t+\Delta t\], le contenu du système \[\cal{S}\] et la quantité de matière sortie depuis l'instant \[t\].

Le système \[\cal{F}\] ainsi défini est bien fermé, et on peut lui appliquer le premier principe.

L'énergie interne du système \[\cal{F}\] à l'instant initial est :

\[{U}_{\mathrm{F}}\left(t\right)={U}_{\mathrm{S}}\left(t\right)+{U}_{\mathrm{in}}\]

\[{U}_{\mathrm{in}}\]étant l'énergie interne de la matière qui va entrer pendant le temps \[\Delta t\].

De même, l'énergie interne du système à l'état final est :

\[{U}_{\mathrm{F}}\left(t+\Delta t\right)={U}_{\mathrm{S}}\left(t+\Delta t\right)+{U}_{\mathrm{out}}\]

\[{U}_{\mathrm{out}}\] étant l'énergie interne de la matière qui est sortie pendant le temps \[\Delta t\].

La variation d'énergie interne du système fermé \[\cal{F}\] s'écrit donc :

\[\Delta {U}_{\mathrm{F}}=\Delta {U}_{\mathrm{S}}+{U}_{\mathrm{out}}-{U}_{\mathrm{in}}\]

De même, la variation d'énergie cinétique du système \[\cal{F}\] est due à la variation d'énergie cinétique du système \[\cal{S}\] (la vitesse des éléments qui le composent peut varier) et à la différence d'énergie cinétique entre le fluide entrant et le fluide sortant :

\[\Delta {K}_{\mathrm{F}}=\Delta {K}_{\mathrm{S}}+{K}_{\mathrm{out}}-{K}_{\mathrm{in}}\]

\[{V}_{\mathrm{in}}\] étant le volume de matière entré pendant l'intervalle \[\Delta t\], le système \[\cal{F}\] a été soumis à une force de pression \[{P}_{\mathrm{in}}\] dans la canalisation d'entrée dont le travail est \[{P}_{\mathrm{in}}{V}_{\mathrm{in}}\] ; de même, la pression dans la canalisation de sortie exerce un travail \[-{P}_{\mathrm{out}}{V}_{\mathrm{out}}\] sur le système \[\cal{F}\].

Enfin, si les canalisations d'entrée et de sortie n'ont pas la même altitude, la force de pesanteur travaille. Le travail de la pesanteur sur le système fermé \[\cal{F}\] peut être divisé en deux contributions essentielles :

  • le travail du poids du système \[\cal{S}\] lui-même : ce travail existe si le centre de masse du système se déplace (système en mouvement, mais aussi cuve en train de se remplir, homogénéisation d'un fluide de densité hétérogène...). Ce travail est comptabilisé dans le travail des forces extérieures au système \[\cal{S}\], dont la puissance est \[\dot{W}\]

  • travail de la pesanteur du au fait que le fluide qui traverse le système change d'altitude ( lorsque les conduits d'alimentation et de soutirage ne sont pas à la même hauteur). Ce travail est exprimé par la diminution d'énergie potentielle de pesanteur entre l'entrée et la sortie :

\[\dot{W}_{\mathrm{pes}}=-\dot{M}_{\mathrm{out}}­t\cdot g{z}_{\mathrm{out}}+\dot{M}_{\mathrm{in}}­t\cdot g{z}_{\mathrm{in}}\]

Le premier principe s'écrit finalement :

\[\begin{array}{ccc}\Delta {U}_{\mathrm{S}}+\Delta {K}_{\mathrm{S}}+{U}_{\mathrm{out}}-{U}_{\mathrm{in}}+{K}_{\mathrm{out}}-{K}_{\mathrm{in}}& =& \dot{W}\Delta t+\dot{Q}\Delta t\\ & +& {P}_{\mathrm{in}}{V}_{\mathrm{in}}-{P}_{\mathrm{out}}{V}_{\mathrm{out}}-\left(\dot{M}_{\mathrm{out}}{z}_{\mathrm{out}}-\dot{M}_{\mathrm{in}}{z}_{\mathrm{in}}\right)g\Delta t\end{array}\]

en passant dans le membre de droite \[{U}_{\mathrm{out}}\] et \[{U}_{\mathrm{in}}\], on fait apparaître les enthalpies des quantités de matières échangées :

\[­{\Delta U}_{\mathrm{S}}+­{\Delta K}_{\mathrm{S}}={H}_{\mathrm{in}}-{H}_{\mathrm{out}}+{K}_{\mathrm{in}}-{K}_{\mathrm{out}}+\left(\left(\dot{M}_{\mathrm{in}}{z}_{\mathrm{in}}-\dot{M}_{\mathrm{out}}{z}_{\mathrm{out}}\right)g+\dot{W}+\dot{Q}\right)­ \Delta t\]

Dans cette équation, \[{H}_{\mathrm{in}}\] est l'enthalpie de la masse \[M\] de matière qui va pénétrer dans le système pendant le temps \[\Delta t\]. Si on divise cette grandeur par le temps \[\Delta t\], on fait apparaître le débit d'enthalpie apporté par le courant de matière qui pénètre dans \[\cal{S}\] :

\[\dot{H}_{\mathrm{in}}=\frac{{H}_{\mathrm{in}}}{\Delta ­t}=\frac{M{h}_{\mathrm{in}}}{\Delta­ t}={h}_{\mathrm{in}}\dot{M}_{\mathrm{in}}\]

où \[{h}_{\mathrm{in}}\] est l'enthalpie de l'unité de masse dans le courant d'entrée et \[\dot{M}_{\mathrm{in}}=\dot{M}\] le débit massique du courant d'entrée.

\[{K}_{\mathrm{in}}=\frac{1}{2}M{\vec{v}}_{\mathrm{in}}^{2}\] est l'énergie cinétique de la matière qui va entrer dans le système pendant l'intervalle \[\Delta t\] (\[{\vec{v}}_{\mathrm{in}}\] étant la vitesse du fluide dans la canalisation d'entrée.).

Remarque

Pour éviter toute confusion avec un volume, nous garderons le symbole "vecteur" pour les vitesses telles que \[{\vec{v}}_{\mathrm{in}}\].

On peut définir le débit d'énergie cinétique transporté par le courant d'entrée comme :

\[\dot{K}_{\mathrm{in}}=\frac{{K}_{\mathrm{in}}}{­\Delta t}=\frac{1}{2}\dot{M}\vec{{v}_{\mathrm{in}}^{2}}\]

On peut ainsi définir des débits d'enthalpie et d'énergie cinétique transportés par chacun des courants de matière. En divisant l'équation trouvée précédemment[5] par \[\Delta t\] et en faisant tendre \[\Delta t\] vers zéro, on obtient :

\[\frac{{dU}_{\mathrm{S}}}{dt}+\frac{{dK}_{\mathrm{S}}}{dt}=\dot{H}_{\mathrm{in}}-\dot{H}_{\mathrm{out}}+\dot{K}_{\mathrm{in}}-\dot{K}_{\mathrm{out}}+g\left(\dot{M}_{\mathrm{in}}{z}_{\mathrm{in}}-\dot{M}_{\mathrm{out}}{z}_{\mathrm{out}}\right)+\dot{W}+\dot{Q}\]

ce qui s'écrit aussi :

\[\frac{{dU}_{\mathrm{S}}}{dt}+\frac{{dK}_{\mathrm{S}}}{dt}=\dot{M}_{\mathrm{in}}\left({h}_{\mathrm{in}}+\frac{1}{2}\vec{{v}_{\mathrm{in}}^{2}}+{\mathrm{gz}}_{\mathrm{in}}\right)-\dot{M}_{\mathrm{out}}\left({h}_{\mathrm{out}}+\frac{1}{2}\vec{{v}_{\mathrm{out}}^{2}}+{\mathrm{gz}}_{\mathrm{out}}\right)+\dot{W}+\dot{Q}\]

C'est l'écriture générale du premier principe, pour un système ouvert.

Cette relation exprime que l'énergie interne ou l'énergie cinétique du système \[\cal{S}\] peuvent varier :

  • du fait de l'enthalpie, l'énergie cinétique ou l'énergie potentielle de pesanteur transportées par les débits de matière

  • ou par des échanges directs d'énergie mécanique ou thermique avec l'extérieur