Influence de l'état de la charge

Jusqu'à présent, nous avons toujours considéré que la charge était à l'état de liquide saturé. Supposons maintenant qu'elle soit partiellement vaporisée, avec une fraction de vapeur (en nombre de moles) \[\beta \].

Changer l'état de la charge n'a pas d'effet sur les débits dans la section de rectification de la colonne, qui doit de toute façon être parcourue par un débit de vapeur égal à \[r+d\] et un débit de liquide égal à \[r\]  : la droite opératoire de rectification n'est donc pas affectée par l'état de la charge, et son équation est :

\[\left(r+d\right){y}_{A}^{\left(i+1\right)}=r{x}_{A}^{\left(i\right)}+d{x}_{A}^{\left(d\right)}\]

Par contre, les débits dans la section d'épuisement seront modifiés.

Écrivons donc l'équation de la droite opératoire d'épuisement, si \[L^{\prime}\] et \[V^{\prime}\] sont les débits de liquide et de vapeur dans la section d'épuisement :

\[V^{\prime}{y}_{A}^{\left(j+1\right)}=L^{\prime}{x}_{A}^{\left(j\right)}-b{x}_{A}^{\left(b\right)}\]

On admet que la fraction vaporisée de la charge, soit \[\beta F\], rejoint la vapeur qui monte dans la colonne, et que la fraction liquide s'ajoute au débit de liquide s'écoulant vers la section d'épuisement, comme le montre la figure ci-dessous :

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On a donc :

\[\begin{array}{ccc}L^{\prime}& =& r+F\left(1-\beta \right)\\ r+d& =& V^{\prime}+F\beta \end{array}\]

Les équations des deux droites opératoires deviennent :

\[\begin{array}{ccc} \left(r+d\right){y}_{A}^{\left(i+1\right)}& =& r{x}_{A}^{\left(i\right)}+d{x}_{A}^{\left(d\right)}\\ \left(r+d-F\beta \right){y}_{A}^{\left(j+1\right)}& =& \left[r+F\left(1-\beta \right)\right]{x}_{A}^{\left(j\right)}-b{x}_{A}^{\left(b\right)} \end{array}\]

et l'intersection de ces deux droites, \[\left({x}_{\mathrm{int}},{y}_{\mathrm{int}}\right)\] vérifie :

\[\beta {y}_{\mathrm{int}}=\left(\beta -1\right){x}_{\mathrm{int}}+{z}_{A}\]

Cette dernière équation est celle d'une droite, passant par \[\left({z}_{A},{z}_{A}\right)\] et de pente \[\frac{\beta -1}{\beta }\]. On l'appelle "droite d'état thermique de la charge".

Méthode

Le tracé des droites opératoires lorsque la charge est partiellement vaporisée se fait donc de la façon suivante :

  • tracer la droite opératoire de rectification (passe par \[\left({x}_{A}^{\left(d\right)},{x}_{A}^{\left(d\right)}\right)\] et \[\left(0,\frac{{x}_{A}^{\left(d\right)}}{1+{r}_{f}}\right)\] ;

  • déterminer le lieu de l'intersection avec la droite opératoire d'épuisement : droite passant par \[\left({z}_{A},{z}_{A}\right)\] et de pente \[\frac{\beta -1}{\beta }\] ;

  • tracer la droite opératoire d'épuisement, issue de \[\left({x}_{A}^{\left(b\right)},{x}_{A}^{\left(b\right)}\right)\] et coupant la droite opératoire de rectification au point déterminé plus haut.

SimulationConstruction de McCabe et Thiele

McCabe_et_Thiele_VR_03.cos [cos, 0 o]

Ce calcul peut facilement être étendu à un liquide sous-refroidi, ou une vapeur surchauffée : il suffit de remplacer le concept de fraction vaporisée (limité à la situation où on a deux phases à l'équilibre) par celui de titre vapeur, défini comme suit :

\[\beta =\frac{h-{h}^{\left(L,\mathrm{sat}\right)}}{{h}^{\left(V,\mathrm{sat}\right)}-{h}^{\left(L,\mathrm{sat}\right)}}\]

où \[h\] est l'enthalpie du mélange considéré, \[{h}^{\left(L,\mathrm{sat}\right)}\] l'enthalpie de ce fluide porté à sa température de bulle (liquide saturé) et \[{h}^{\left(V,\mathrm{sat}\right)}\] l'enthalpie de ce fluide porté à sa température de rosée (vapeur saturée).

Cette notion de titre vapeur recoupe exactement la notion de fraction vaporisée pour un mélange liquide-vapeur. Le titre vapeur d'un liquide sous-refroidi est un nombre négatif et une vapeur surchauffée a un titre vapeur supérieur à l'unité. Attention, des titres vapeur inférieurs à -0,1 ou supérieurs à 1,1 sont en général peu réalistes : vérifiez que la température de la charge correspondante (calculée par le programme) reste dans un domaine acceptable.