Influence de l'état de la charge

Jusqu'à présent, nous avons toujours considéré que la charge était à l'état de liquide saturé. Supposons maintenant qu'elle soit partiellement vaporisée, avec une fraction de vapeur (en nombre de moles) \[\beta \].

Changer l'état de la charge n'a pas d'effet sur les débits dans la section de rectification[1] de la colonne, qui doit de toute façon être parcourue par un débit de vapeur égal à \[r+d\] et un débit de liquide égal à \[r\]  : la droite opératoire de rectification n'est donc pas affectée par l'état de la charge, et son équation est :

\[\left(r+d\right){y}_{A}^{\left(i+1\right)}=r{x}_{A}^{\left(i\right)}+d{x}_{A}^{\left(d\right)}\]

Par contre, les débits dans la section d'épuisement[2] seront modifiés.

Écrivons donc l'équation de la droite opératoire d'épuisement, si \[L^{\prime}\] et \[V^{\prime}\] sont les débits de liquide et de vapeur dans la section d'épuisement :

\[V^{\prime}{y}_{A}^{\left(j+1\right)}=L^{\prime}{x}_{A}^{\left(j\right)}-b{x}_{A}^{\left(b\right)}\]

On admet que la fraction vaporisée de la charge, soit \[\beta F\], rejoint la vapeur qui monte dans la colonne, et que la fraction liquide s'ajoute au débit de liquide s'écoulant vers la section d'épuisement, comme le montre la figure ci-dessous :

Répartition de la charge au plateau d'alimentation | Jacques Schwartzentruber | Informations complémentaires...Informations
Répartition de la charge au plateau d'alimentationInformations[4]

On a donc :

\[\begin{array}{ccc}L^{\prime}& =& r+F\left(1-\beta \right)\\ r+d& =& V^{\prime}+F\beta \end{array}\]

Les équations des deux droites opératoires deviennent :

\[\begin{array}{ccc} \left(r+d\right){y}_{A}^{\left(i+1\right)}& =& r{x}_{A}^{\left(i\right)}+d{x}_{A}^{\left(d\right)}\\ \left(r+d-F\beta \right){y}_{A}^{\left(j+1\right)}& =& \left[r+F\left(1-\beta \right)\right]{x}_{A}^{\left(j\right)}-b{x}_{A}^{\left(b\right)} \end{array}\]

et l'intersection de ces deux droites, \[\left({x}_{\mathrm{int}},{y}_{\mathrm{int}}\right)\] vérifie :

\[\beta {y}_{\mathrm{int}}=\left(\beta -1\right){x}_{\mathrm{int}}+{z}_{A}\]

Cette dernière équation est celle d'une droite, passant par \[\left({z}_{A},{z}_{A}\right)\] et de pente \[\frac{\beta -1}{\beta }\]. On l'appelle "droite d'état thermique de la charge".

Méthode

Le tracé des droites opératoires lorsque la charge est partiellement vaporisée se fait donc de la façon suivante :

  • tracer la droite opératoire de rectification (passe par \[\left({x}_{A}^{\left(d\right)},{x}_{A}^{\left(d\right)}\right)\] et \[\left(0,\frac{{x}_{A}^{\left(d\right)}}{1+{r}_{f}}\right)\] ;

  • déterminer le lieu de l'intersection avec la droite opératoire d'épuisement : droite passant par \[\left({z}_{A},{z}_{A}\right)\] et de pente \[\frac{\beta -1}{\beta }\] ;

  • tracer la droite opératoire d'épuisement, issue de \[\left({x}_{A}^{\left(b\right)},{x}_{A}^{\left(b\right)}\right)\] et coupant la droite opératoire de rectification au point déterminé plus haut.

SimulationConstruction de McCabe et Thiele

McCabe_et_Thiele_VR_03.cos [cos, 0 o]

Ce calcul peut facilement être étendu à un liquide sous-refroidi, ou une vapeur surchauffée : il suffit de remplacer le concept de fraction vaporisée (limité à la situation où on a deux phases à l'équilibre) par celui de titre vapeur, défini comme suit :

\[\beta =\frac{h-{h}^{\left(L,\mathrm{sat}\right)}}{{h}^{\left(V,\mathrm{sat}\right)}-{h}^{\left(L,\mathrm{sat}\right)}}\]

où \[h\] est l'enthalpie du mélange considéré, \[{h}^{\left(L,\mathrm{sat}\right)}\] l'enthalpie de ce fluide porté à sa température de bulle[5] (liquide saturé) et \[{h}^{\left(V,\mathrm{sat}\right)}\] l'enthalpie de ce fluide porté à sa température de rosée[6] (vapeur saturée).

Cette notion de titre vapeur recoupe exactement la notion de fraction vaporisée pour un mélange liquide-vapeur. Le titre vapeur d'un liquide sous-refroidi est un nombre négatif et une vapeur surchauffée a un titre vapeur supérieur à l'unité. Attention, des titres vapeur inférieurs à -0,1 ou supérieurs à 1,1 sont en général peu réalistes : vérifiez que la température de la charge correspondante (calculée par le programme) reste dans un domaine acceptable.