Amplification de la séparation : relation de Fenske

Considérons une colonne fonctionnant à reflux[1] total, c'est-à-dire que les débits d'alimentation et de soutirage sont négligeables par rapport aux débits internes (reflux et rebouillage).

Colonne à reflux total | Jacques Schwartzentruber | Informations complémentaires...Informations
Colonne à reflux totalInformations[3]

Fondamental

Soit \[{\alpha }_{\mathrm{AB}}^{\left(i\right)}\] la sélectivité de l'étage \[i\] (relative au couple de constituants \(A\) et \(B\)).

La relation de Fenske stipule que la sélectivité de l'ensemble de la colonne est le produit des sélectivités de tous les étages :

\[{\alpha }_{\mathrm{AB}}^{\textrm{colonne}}=\underset{i}{\Pi }{\alpha }_{\mathrm{AB}}^{\left(i\right)}\]

Démonstration

Soit en effet une colonne à reflux[1] total (figure ci-dessus), et considérons le sous-système formé des \[i\] plateaux supérieurs de la colonne. La sélectivité de ce sous-système, pour un couple (\[\mathrm{AB}\]) de constituants, est :

\[{\alpha }_{\mathrm{AB}}^{\left(1,\dots ,i\right)}=\frac{{y}_{A}^{\left(1\right)}/{x}_{A}^{\left(i\right)}}{{y}_{B}^{\left(1\right)}/{x}_{B}^{\left(i\right)}}\]

Ce sous-système n'échange de matière avec l'extérieur que par les débits \[{L}_{i}\] (qui le quitte) et \[{V}_{i+1}\] (qui y pénètre). En régime stationnaire, ces deux débits sont donc égaux, et par conséquent :

\[\begin{array}{ccc}{L}^{\left(i\right)}& =& {V}^{\left(i+1\right)}\\ {x}_{A}^{\left(i\right)}& =& {y}_{A}^{\left(i+1\right)}\\ {x}_{B}^{\left(i\right)}& =& {y}_{B}^{\left(i+1\right)}\end{array}\]

La sélectivité du sous-système formé des \[i+1\] plateaux supérieurs est :

\[\begin{array}{ccc} {\alpha }_{\mathrm{AB}}^{\left(1, \dots, i+1\right)}& =& \frac{{y}_{A}^{\left(1\right)}/{x}_{A}^{\left(i+1\right)}}{{y}_{B}^{\left(1\right)}/{x}_{B}^{\left(i+1\right)}}\\ & =& {\alpha }_{\mathrm{AB}}^{\left(1, \dots, i\right)}\cdot \frac{{x}_{A}^{\left(i\right)}/{x}_{A}^{\left(i+1\right)}}{{x}_{B}^{\left(i\right)}/{x}_{B}^{\left(i+1\right)}}\\ & =& {\alpha }_{\mathrm{AB}}^{\left(1, \dots, i\right)}\cdot \frac{{y}_{A}^{\left(i+1\right)}/{x}_{A}^{\left(i+1\right)}}{{y}_{B}^{\left(i+1\right)}/{x}_{B}^{\left(i+1\right)}} \end{array}\]

Cette équation s'obtient à partir de la ligne précédente en introduisant les égalités des débits. On reconnaît dans la fraction du deuxième membre la sélectivité de l'étage \[i+1\], et par conséquent :

\[{\alpha }_{\mathrm{AB}}^{\left(1, \dots, i+1\right)}={\alpha }_{\mathrm{AB}}^{\left(1, \dots, i\right)}\cdot {\alpha }_{\mathrm{AB}}^{\left(i+1\right)}\]

d'où, par récurrence, la relation :

\[{\alpha }_{\mathrm{AB}}^{\textrm{colonne}}=\underset{i}{\Pi }{\alpha }_{\mathrm{AB}}^{\left(i\right)}\]

Remarque

On remarquera que la démonstration est valable pour n'importe quel type de séparation à contre-courant et à reflux[1] total. En particulier, on n'a pas fait l'hypothèse que les débits de matière quittant chaque étage sont à l'équilibre thermodynamique.

Cette relation, bien que valable dans un cas particulier seulement (taux de reflux[4] très grand) permet d'estimer le gain en sélectivité obtenu par une colonne de distillation par rapport à un seul flash.

Exemple

Supposons par exemple que nous voulions obtenir dans le distillat[5] le constituant \(A\) avec une pureté de 99%, et dans le résidu[6] le constituant \(B\) avec une pureté de 99%. La sélectivité demandée à la colonne est alors de :

\[\frac{0,99/0,01}{0,01/0,99}\approx {10}^{4}\]

Si, pour un mélange, la sélectivité moyenne d'un étage est de 3 (ordre de grandeur assez raisonnable), on voit qu'il suffira de 9 étages de séparation (à reflux[1] total) pour obtenir cette sélectivité.