Amplification de la séparation : relation de Fenske

Considérons une colonne fonctionnant à reflux total, c'est-à-dire que les débits d'alimentation et de soutirage sont négligeables par rapport aux débits internes (reflux et rebouillage).

Colonne à reflux total | Jacques Schwartzentruber | Informations complémentaires...Informations
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Fondamental

Soit \[{\alpha }_{\mathrm{AB}}^{\left(i\right)}\] la sélectivité de l'étage \[i\] (relative au couple de constituants \(A\) et \(B\)).

La relation de Fenske stipule que la sélectivité de l'ensemble de la colonne est le produit des sélectivités de tous les étages :

\[{\alpha }_{\mathrm{AB}}^{\textrm{colonne}}=\underset{i}{\Pi }{\alpha }_{\mathrm{AB}}^{\left(i\right)}\]

Démonstration

Soit en effet une colonne à reflux total (figure ci-dessus), et considérons le sous-système formé des \[i\] plateaux supérieurs de la colonne. La sélectivité de ce sous-système, pour un couple (\[\mathrm{AB}\]) de constituants, est :

\[{\alpha }_{\mathrm{AB}}^{\left(1,\dots ,i\right)}=\frac{{y}_{A}^{\left(1\right)}/{x}_{A}^{\left(i\right)}}{{y}_{B}^{\left(1\right)}/{x}_{B}^{\left(i\right)}}\]

Ce sous-système n'échange de matière avec l'extérieur que par les débits \[{L}_{i}\] (qui le quitte) et \[{V}_{i+1}\] (qui y pénètre). En régime stationnaire, ces deux débits sont donc égaux, et par conséquent :

\[\begin{array}{ccc}{L}^{\left(i\right)}& =& {V}^{\left(i+1\right)}\\ {x}_{A}^{\left(i\right)}& =& {y}_{A}^{\left(i+1\right)}\\ {x}_{B}^{\left(i\right)}& =& {y}_{B}^{\left(i+1\right)}\end{array}\]

La sélectivité du sous-système formé des \[i+1\] plateaux supérieurs est :

\[\begin{array}{ccc} {\alpha }_{\mathrm{AB}}^{\left(1, \dots, i+1\right)}& =& \frac{{y}_{A}^{\left(1\right)}/{x}_{A}^{\left(i+1\right)}}{{y}_{B}^{\left(1\right)}/{x}_{B}^{\left(i+1\right)}}\\ & =& {\alpha }_{\mathrm{AB}}^{\left(1, \dots, i\right)}\cdot \frac{{x}_{A}^{\left(i\right)}/{x}_{A}^{\left(i+1\right)}}{{x}_{B}^{\left(i\right)}/{x}_{B}^{\left(i+1\right)}}\\ & =& {\alpha }_{\mathrm{AB}}^{\left(1, \dots, i\right)}\cdot \frac{{y}_{A}^{\left(i+1\right)}/{x}_{A}^{\left(i+1\right)}}{{y}_{B}^{\left(i+1\right)}/{x}_{B}^{\left(i+1\right)}} \end{array}\]

Cette équation s'obtient à partir de la ligne précédente en introduisant les égalités des débits. On reconnaît dans la fraction du deuxième membre la sélectivité de l'étage \[i+1\], et par conséquent :

\[{\alpha }_{\mathrm{AB}}^{\left(1, \dots, i+1\right)}={\alpha }_{\mathrm{AB}}^{\left(1, \dots, i\right)}\cdot {\alpha }_{\mathrm{AB}}^{\left(i+1\right)}\]

d'où, par récurrence, la relation :

\[{\alpha }_{\mathrm{AB}}^{\textrm{colonne}}=\underset{i}{\Pi }{\alpha }_{\mathrm{AB}}^{\left(i\right)}\]

Remarque

On remarquera que la démonstration est valable pour n'importe quel type de séparation à contre-courant et à reflux total. En particulier, on n'a pas fait l'hypothèse que les débits de matière quittant chaque étage sont à l'équilibre thermodynamique.

Cette relation, bien que valable dans un cas particulier seulement (taux de reflux très grand) permet d'estimer le gain en sélectivité obtenu par une colonne de distillation par rapport à un seul flash.

Exemple

Supposons par exemple que nous voulions obtenir dans le distillat le constituant \(A\) avec une pureté de 99%, et dans le résidu le constituant \(B\) avec une pureté de 99%. La sélectivité demandée à la colonne est alors de :

\[\frac{0,99/0,01}{0,01/0,99}\approx {10}^{4}\]

Si, pour un mélange, la sélectivité moyenne d'un étage est de 3 (ordre de grandeur assez raisonnable), on voit qu'il suffira de 9 étages de séparation (à reflux total) pour obtenir cette sélectivité.