Les fréquences
Introduction
Une fois le tri effectué et les classes déterminées, on peut soit dénombrer les particules soit les mesurer (peser dans le cas du tamisage ou de la sédimentation, mesurer une intensité lumineuse dans le cas des méthodes optiques ...). La granulométrie d'une poudre peut donc être représentée par :
une distribution des tailles en nombre de particules
une distribution en mesure (masse, surface ...).
Définition :
On appelle fréquence, notée \(f\), le rapport entre la quantité mesurée par classe (ou le nombre de particules) et la largeur de la classe. Elle peut être normée par la quantité totale. Les fréquences en masse et en volume sont équivalentes, elles seront notées \(f_M\) ou \(f_V\). Les fréquences en surface, en longueur et en nombre sont respectivement notées \(f_S\), \(f_L\) et \(f_N\).
Prenons l'exemple d'une granulométrie par tamisage, où les tailles sont discrétisées en \(n\) classes et exprimons la fréquence en masse, normée, de chaque classe de taille \(i\).
\(f_M\left(i\right) = \frac{\textrm{masse totale de particules dans la classe }i}{\textrm{masse totale}*\textrm{largeur de la classe }i}=\frac{M_i}{M_{\textrm{tot}}*\Delta x_i}\)
\(\sum_{i=1}^n f_M\left(i\right) \Delta x_i = 1\)
si \(\Delta x_i \to 0\) alors on peut écrire :
\(f_M\left(i\right)=\frac{1}{M_T}\frac{dM\left(M\right)}{dx}\)
\(\int_0^{\infty} f_M\left(x\right)dx = 1\)
Si la forme des particules est indépendante de leur taille, il est possible de passer d'une distribution à une autre grâce aux formules suivantes :
\[\left\lbrace \begin{array}{ccc} f_L\left(x\right) &=& k_1 xf_N\left(x\right)\\ f_S\left(x\right) &=& k_2 x^2 f_N\left(x\right) \\ f_M\left(x\right) &=& k_3 x^3 f_N\left(x\right)\\ \end{array}\right.\]
Les constantes \(k_1\), \(k_2\) et \(k_3\) contiennent les facteurs de forme définis précédemment. Si les distributions sont normées on peut calculer :
\(k_1=\frac{1}{\int_0^{\infty} x f_N\left(x\right)dx}\) et de même pour \(k_2\) et \(k_3\).
Attention :
Dans une granulométrie en nombre chaque particule a la même importance alors que dans une granulométrie en mesure, les particules ont une influence proportionnelle à cette mesure (masse, taille, surface ...). La différence peut être considérable, n'en voulant pour preuve que le volume d'une sphère de \({10}{\, \rm \mu m}\) est 1000 fois plus important que le volume d'une sphère de \({1}{\, \rm \mu m}\). La figure ci-dessus illustre cette remarque. On y montre les distributions en nombre et en volume de particules qui ont été par ailleurs prises en photo à l'aide d'un microscope à balayage électronique. La distribution en volume fait apparaître les particules les plus grosses avec beaucoup de poids alors que la distribution en nombre ne les mentionne pas. L'existence de ces particules en tant que telles et non en tant qu'agglomérats de fines est prouvée par la photo. On note que la photo n'est pas représentative de la distribution car elle ne comporte quasiment pas de fines particules.
Conclusion
La définition du type de taille mesurée (notion de représentation d'une particule) et du type de distribution de tailles (fréquences) que l'on veut présenter (notion de représentation de la distribution) sont un préambule indispensable à l'établissement d'une représentation granulométrique.
Une fois les fréquences calculées, qu'est-il possible de faire avec les valeurs obtenues ? Trois solutions sont envisageables :
tracer une représentation graphique,
définir des valeurs numériques représentatives de la distribution,
représenter ces résultats par une distribution analytique.