Collision sous cisaillement

Nous allons maintenant calculer la constante \[{k}_{0}\] quand la cause de la collision est le cisaillement. Le flux de particules \[j\] vers la particule de référence \[i\] est :

\[{J}_{j}={N}_{j}\sum _{I}{\int }{V}_{ij}{dS}={N}_{j}\sum_{I}{\int }.{\gamma }{r}_{ij}.{dS}={N}_{j}\sum_{I}{\int }\dot{\gamma }y{dS}\]

\[{V}_{\mathrm{ij}}\] est la vitesse relative entre \[i\] et \[j\]. \[\sum_{I}\] est la surface d'interception (ici, le disque de rayon \[{R}_{ij}={R}_{i}+{R}_{j}\]). La surface d'interception, notion équivalente à une section efficace, est définie de la façon suivante : toute particule \[j\] traversant perpendiculairement cette surface (située loin de \[i\]) entrera en collision avec \[i\].

La vitesse d'agrégation s'écrit :

\[\frac{{{dN}}_{i+j}}{{dt}}={J}_{ij}={N}_{i}{J}_{j}\]

Le noyau d'agrégation sous cisaillement est donc :

\[{k}_{0}\left(i,j\right)=\sum_{I}{\int }.{\gamma }{r}_{ij}.{dS}=\dot{\gamma }\sum_{I}{\int }y{dS}\]

Pour des particules sans interaction (physico-chimique ou hydrodynamique), un calcul élémentaire conduit à :

\[{k}_{0}\left(i,j\right)=\dot{\gamma}\frac{4}{3}{R}_{ij}^{3}=\dot{\gamma}\frac{4}{3}{\left({R}_{i}+{R}_{j}\right)}^{3}\]

Le tableau suivant contient les principaux noyaux d'agrégation \[{k}_{0}\left(i,j\right)\] relatifs à différentes situations. On reconnaît les deux cas évoqués précédemment. Les deux autres correspondent à l'agrégation dans un écoulement turbulent (voir introduction), l'un applicable quand \[{R}_{i},{R}_{j}\ll {l}_{K}\], l'autre quand \[{R}_{i},{R}_{j}>{l}_{K}\].

Les principaux noyaux d'agrégation \(k_0\) relatifs à différentes situations

Auteurs

\(k _{0 } \left(i,j \right)\)

Conditions d'écoulement

Smoluchowski 1917[1]

\(\frac{2 kT}{3\mu } \left( R_i + R_j \right) \left( \frac{1}{R_i } + \frac{1}{R_j} \right)\)

brownien

Smoluchowski 1917[1]

\(\frac{4} {3} {\dot \gamma } \left(R_{i} +R_{j} \right)^{3}\)

laminaire

Saffman et Turner 1956

\(\sqrt{ \frac{8\pi } {15}} \left( \frac{\varepsilon_{m} } {\nu } \right)^{1/2} \left(R_{i} +R_{j} \right)^{3}\)

turbulent

agrégats \(<l_K\)

Abrahamson 1975

\(5,0 \left( { \bar{U}_{i}^{2} + \bar{U}_{j}^{2} } \right)^{\frac{1}{2}} {\left(R_{i} +R_{j} \right) }^{2}\)

turbulent

agrégats \(>l_K\)

Rappel

On a

\[{l}_{K}={\left(\frac{{\nu }^{3}}{{\varepsilon }_{m}}\right)}^{1/4}\]

Pour en savoir plus sur \[{l}_{K}\][2], voir le Chapitre "Hydrodynamique des suspensions"[3]