Bilan sur la première classe

Considérons que les nuclei sont des cristaux de taille comprise entre {L}_{c} et {L}_{c}+{dL}.

Soit B\left(M,t\right) la vitesse de nucléation en nombre de nuclei formés par unité de temps et par unité de volume de suspension. {L}_{c} représente la taille critique des nuclei. Ces nuclei peuvent sortir de la classe soit par agglomération, soit par croissance, mais ils ne peuvent ni être brisés, ni être formés par croissance de particules plus petites ou par agglomération. On notera que le terme de formation de nuclei par rupture de particules plus grosses est déjà pris en compte dans la vitesse de nucléation (primaire et secondaire). La disparition de la classe par dissolution n'est pas considérée car on suppose que la solution est toujours sursaturée même pour de très petit cristaux.

Les différents processus considérés dans le bilan de population
Les différents processus considérés dans le bilan de populationInformations

Le bilan des éléments entrant dans la classe \mathrm{[}{L}_{c},{L}_{c}+{dL}\mathrm{[} et sortant de cette classe donne :

Bilan des éléments entrant et sortant de la classe [Lc , Lc+dL[

Nombre de particules entrant dans la classe \left[L_c, L_c+dL\right[

Nombre de particules sortant dans la classe \left[L_c, L_c+dL\right[

Par nucléation

B(M,t) dV dt

aucun

Par croissance

aucun

n(L_c+dL-dL_2, M, t). dL_2 .dV

avec le débit d’alimentation Q_e (m^3/s)

Q_e . n_e(L_c,t).dL.dt

aucun

avec le débit de soutirage Q_s (m^3/s)

aucun

Q_s .n_s(L_c, t).dL.dt

Par brisure

R_{BR}^{(e)}(L_c,M,t).dL.dt

aucun

Par agglomération

aucun

R_{AG}^{(s)}(L_c,M,t).dL.dt

Le bilan sur cette classe donne :

[nombre de cristaux entrant dans une classe] = [nombre de cristaux sortant de cette classe] + [accumulation de cristaux dans cette classe]

\begin{array}{rcl}\left({\int }_{V}B\left(M,t\right){dt}{dV}\right)&=&{Q}_{e}.{n}_{e}\left({L}_{c},t\right).{dL.dt}-{Q}_{s}.{n}_{s}\left({L}_{c},t\right).{dL.dt}+{\int }_{V}n\left({L}_{c}+{dL}-{{dL}}_{2,}M,t\right).{{dL}}_{2}.{dV}\\~&+&{\int }_{V}\left({R}_{\mathrm{BR}}^{\left(e\right)}-{R}_{\mathrm{AG}}^{\left(s\right)}\right){dt}.{dL.dV}+d\left({\int }_{V}n\left(L,M,t\right){dL}{dV}\right)\end{array}

avec {{dL}}_{2}=G\left({L}_{c}+{dL}-{{dL}}_{2,}M,t\right){dt}

On suppose que les cristaux ne peuvent s'accumuler dans cette classe soit d\left({\int }_{V}n\left(L,M,t\right){dL}{dV}\right)=0.

\begin{array}{rcl}\left({\int }_{V}B\left(M,t\right){dt}{dV}\right)&=&{Q}_{e}.{n}_{e}\left({L}_{c},t\right).{dL.dt}-{Q}_{s}.{n}_{s}\left({L}_{c},t\right).{dL.dt}\\~&+&{\int }_{V}n\left({L}_{c}+{dL}-{{dL}}_{2,}M,t\right).G\left({L}_{c}+{dL}-{{dL}}_{2,}M,t\right).{dt}.{dV}\\~&+&{\int }_{V}\left({R}_{\mathrm{BR}}^{\left(e\right)}-{R}_{\mathrm{AGG}}^{\left(s\right)}\right){dt}.{dL.dV}\end{array}

soit

\begin{array}{rcl}\left({\int }_{V}B\left(M,t\right){dt}{dV}\right)&=&{Q}_{e}.{n}_{e}\left({L}_{c},t\right).{dL.dt}-{Q}_{s}.{n}_{s}\left({L}_{c},t\right).{dL.dt}\\~&+&{\int }_{V}\left[\mathrm{nG}\right]\left({L}_{c}+{dL}-{{dL}}_{2,}M,t\right).{dt}.{dV}\\~&+&{\int }_{V}\left({R}_{\mathrm{BR}}^{\left(e\right)}-{R}_{\mathrm{AGG}}^{\left(s\right)}\right){dt}.{dL.dV}\end{array}

En négligeant les termes du 1ier ordre, on a :

\left({\int }_{V}B\left(M,t\right){dt}{dV}\right)={\int }_{V}\left[\mathrm{nG}\right]\left({L}_{c}+{dL}-{{dL}}_{2,}M,t\right).{dt}.{dV}

Complément

En écrivant le développement limité du premier ordre de \left[\mathrm{nG}\right]\left({L}_{c}+{dL}-{{dL}}_{2,}M,t\right), on obtient

\left[\mathrm{nG}\right]\left({L}_{c}+{dL}-{{dL}}_{2,}M,t\right)=\left[\mathrm{nG}\right]\left({L}_{c},M,t\right)+\frac{\partial \left[\mathrm{nG}\right]\left({L}_{c},M,t\right)}{\partial L}{dL}-\frac{\partial \left[\mathrm{nG}\right]\left({L}_{c},M,t\right)}{\partial {L}_{2}}{{dL}}_{2}

En combinant ces deux équations et en négligeant les termes du 1ier ordre et 2nd ordre la condition aux limites s'écrit donc :

\left({\int }_{V}B\left(M,t\right){dt}{dV}\right)={\int }_{V}\left[\mathrm{nG}\right]\left({L}_{c},M,t\right).{dt}.{dV}

soit en intégrant sur tout le volume si n, G et B sont uniformes sur tout le volume V :

B\left(t\right)=\left[\mathrm{nG}\right]\left({L}_{c},t\right)