Bilan sur des classes autres que la première classe : cas général
Considérons l'évolution du nombre de cristaux dans la classe de particules de taille \mathrm{[}L,L+{dL}\mathrm{[} entre deux instants t et t+{dt}.
Entre t et t+{dt}, sont rentrés dans la classe des particules de taille qui se trouvaient à L-{{dL}}_{1} et sont sorties des particules qui se trouvaient à L+{dL}-{{dL}}_{2}.
Toute particule ayant une augmentation de taille par croissance strictement inférieure à {{dL}}_{2}restera dans la classe \mathrm{[}L,L+{dL}\mathrm{[} et toute particule ayant augmentation de taille supérieure ou égale à {{dL}}_{2}sortira de la classe \mathrm{[}L,L+{dL}\mathrm{[} par croissance.
{{dL}}_{1} et {{dL}}_{2} représentent donc l'augmentation de taille que doivent présenter des particules pour respectivement entrer dans la classe et sortir de la classe \mathrm{[}L,L+{dL}\mathrm{[}.
Remarque :
{{dL}}_{1}\ll {dL} et {{dL}}_{2}\ll {dL}
{{dL}}_{1} et {{dL}}_{2} peuvent être calculées grâce à la vitesse de croissance des particules : {{dL}}_{1}=G\left(L-{{dL}}_{1},t\right){dt}+{dG}\left(L-{{dL}}_{1},t\right){dt} et {{dL}}_{2}=G\left(L+{dL}-{{dL}}_{2},t\right){dt}+{dG}\left(L+{dL}-{{dL}}_{2},t\right){dt}
Par la suite les termes {dG}\left(L-{{dL}}_{1},t\right) et {dG}\left(L+{dL}-{{dL}}_{2},t\right) qui sont des termes du second ordre seront négligés et nous retiendrons {{dL}}_{1}=G\left(L-{{dL}}_{1},t\right){dt} et {{dL}}_{2}=G\left(L+{dL}-{{dL}}_{2},t\right){dt}.
Soit un élément de volume {dV} dans le cristalliseur, centré autour d'un point M. Dans cet élément de volume, la vitesse de croissance dépend de la taille des cristaux et de la sursaturation locale S et sera notée G\left(L,M,t\right).
Le bilan des éléments entrant dans la classe \mathrm{[}L,L+{dL}\mathrm{[} et sortant de cette classe donne :
Nombre de particules entrant dans la classe | Nombre de particules sortant dans la classe | |
---|---|---|
Par croissance | n(L-dL_1, M, t).dV.dL_1 | n(L+dL-dL_2, M, t). dL_2 .dV |
avec le débit d’alimentation | Q_e . n_e(L,t).dL.dt | |
avec le débit de soutirage | Q_s .n_s(L, t).dL.dt | |
Par brisure | R_{BR}^{(e)}(L,M,t).dL.dt | R_{BR}^{(s)}(L,M,t).dL.dt |
Par agglomération | R_{AG}^{(e)}(L,M,t).dL.dt | R_{AG}^{(s)}(L,M,t).dL.dt |
Avec {{dL}}_{1}=G\left(L-{{dL}}_{1,}M,t\right).{dt} et {{dL}}_{2}=G\left(L+{dL}-{{dL}}_{2,}M,t\right){dt}
Si on reprend le bilan
[nombre de cristaux entrant dans une classe] - [nombre de cristaux sortant de cette classe] = [accumulation de cristaux dans cette classe]
Le bilan sur la classe \mathrm{[}L,L+{dL}\mathrm{[} conduit donc à :
Si on pose
la vitesse nette d'agglomération {R}_{\mathrm{AG}}^{\mathrm{net}}={R}_{\mathrm{AG}}^{\left(e\right)}-{R}_{\mathrm{AG}}^{\left(s\right)} telle que {R}_{\mathrm{AG}}^{\mathrm{net}}{dL} est le nombre net de particules créées par agglomération dans la classe considérée par unité de temps et de volume,
la vitesse nette de brisure {R}_{\mathrm{BR}}^{\mathrm{net}}={R}_{\mathrm{BR}}^{\left(s\right)}-{R}_{\mathrm{BR}}^{\left(e\right)} telle que {R}_{\mathrm{BR}}^{\mathrm{net}}{dL} est le nombre net de particules disparues par brisure de la classe considérée par unité de temps et de volume,
l'équation devient :
Attention :
On notera que l'intervalle de temps dt doit être choisi suffisamment court pour que {{dL}}_{1} et {{dL}}_{2} soient inférieurs à {dL}. La différence {{dL}}_{1}-{{dL}}_{2} est un second ordre infiniment petit et peut donc être négligé devant {dL}, un premier ordre infiniment petit.
En remplaçant {{dL}}_{1} et {{dL}}_{2} dans
on a
Complément :
En écrivant le développement limité d'ordre 1 de \left[\mathrm{nG}\right]\left(L-{{dL}}_{1,}M,t\right) et de \left[\mathrm{nG}\right]\left(L+{dL}-{{dL}}_{2,}M,t\right) on a respectivement :
En combinant les deux développements limités et le bilan de population, on peut écrire :
{{dL}}_{1} et {{dL}}_{2} étant négligeables devant {dL}, et en divisant par {dt.dL} on obtient :
Si n et G sont uniformes sur tout le volume V, en intégrant sur le volume V du cristallisoir on trouve l'équation du bilan de population :
Le bilan de population s'écrit en supposant n et G uniformes sur tout le volume V :
Cette équation n'est valable que pour des classes de particules de taille supérieure à la taille des nuclei. Il faut y rajouter une équation de bilan particulière aux nuclei (condition aux limites).