Écoulement en milieux poreux

Les milieux poreux se rencontrent à divers titres lors d'une cristallisation ou d'une précipitation. Nous en donnons deux exemples :

  • cela peut être le lieu de la formation du solide, par exemple dans un lit fixe industriel (filtre ou membrane) ou un sédiment rocheux. Le milieu poreux peut ou non participer à la cristallisation/précipitation ;

  • le solide formé après cristallisation/précipitation peut être poreux : par exemple, un agrégat (ensemble de particules liées entre elles par des forces physiques) ou un agglomérat (ensemble de particules liées entre elles par des ponts de matière).

Dans les deux cas, il est important de décrire l'écoulement autour ou dans le milieu poreux. Dans ce contexte, le paramètre important associé à ce phénomène est la perméabilité \[k\][1].

Le point de départ est la loi de Darcy, qui est la relation constitutive ou phénoménologique pour les écoulements en milieu poreux :

\[{U}_{L}-{U}_{P}=-\left(k/\mu \right)\nabla p\]

\[k\] est la perméabilité (en m2). L'objectif est ici de découvrir la relation entre la perméabilité et les paramètres géométriques du milieu poreux. Celui-ci est caractérisé par deux paramètres géométriques : la fraction volumique en solide \[{\phi }_{S}\][2] et la taille caractéristique \[{d}_{p1}\] des éléments constituant le milieu poreux (par exemple les particules primaires constituant un agrégat).

Une modélisation simple distingue deux cas limites : milieux très poreux et très peu poreux. Nous allons les décrire :

  • milieu très poreux (voir exercice[3]) : le gradient de pression sert à surmonter la force de frottement (traînée) à la surface de chaque sphère (constituant le milieu poreux) considérée éloignée de ses voisines. On trouve :

\[k=\frac{{d}_{p1}^{2}}{18\phi }\]

  • milieu peu poreux (voir exercice[4]) : l'écoulement (de Poiseuille) se fait dans des canaux cylindriques. La perméabilité obéit à la relation de Carman-Kozeny :

\[k=\frac{{\left(1-\phi \right)}^{3}}{2{a}^{2}{\tau }^{2}{\phi }^{2}}\simeq \frac{{d}_{p1}^{2}{\left(1-\phi \right)}^{3}}{180{\phi }^{2}}\]

\[\tau \][5] et \[a\][6] sont la tortuosité et la surface spécifique (m2/m3).

Pratiquement, une relation très utilisée (milieu très poreux et moyennement poreux) est la relation d'Happel [Happel et Brenner, 1965][7] [Happel, 1958][8] :

\[k=\frac{{d}_{\mathrm{p1}}^{2}}{18\phi }L\left(\phi \right)\]

avec

\[L\left(\phi \right)=\frac{3-4,5{\phi }^{1/3}+4,5{\phi }^{5/3}-3{\phi }^{2}}{3+2{\phi }^{5/3}}\]
Perméabilité d'un milieu poreux en fonction de la fraction volumique en solide et de la taille de l'entité élémentaire
Perméabilité d'un milieu poreux en fonction de la fraction volumique en solide et de la taille de l'entité élémentaireInformations[9]

La perméabilité permet, par exemple, de calculer la traînée \[{F}_{D}\][10] sur une sphère poreuse [Vanni, 2000][11] :

\[{F}_{D}=3\pi \mu {d}_{P}\left({U}_{L}-{U}_{P}\right)\frac{2{\alpha }^{2}\left(1-\frac{\mathrm{tanh}\alpha }{\alpha }\right)}{2{\alpha }^{2}+3\left(1-\frac{\mathrm{tanh}\alpha }{\alpha }\right)}\]

avec \[\alpha =\frac{{d}_{P}}{2\sqrt{k}}\]