Drainage du liquide entre deux particules

Nous avons vu qu'une petite particule en mouvement perpendiculairement à une paroi subissait une force de frottement plus élevée que celle donnée par la loi de Stokes. L'origine en a été donnée. Le problème est le même quand deux particules sont amenées à se rencontrer (une paroi plane n'est autre qu'une sphère de rayon infini). Cette résistance hydrodynamique retarde la collision entre deux particules et ralentit leur éventuelle agrégation. Il est à noter que son existence doit être obligatoirement compensée par des forces attractives (physico-chimiques) pour que l'agrégation se fasse.

Il a été montré [Vinogradova, 1999][1] que la résistance hydrodynamique (force exercée par le fluide sur les particules) obéissait à l'expression générale :

\[{F}_{D}=3\pi \mu \left({U}_{\mathrm{p2}}-{U}_{\mathrm{p1}}\right)\frac{1}{h}{f}_{\textrm{géométrie}}{f}_{\textrm{hydrophobie}}\]

  • \[h\] est la distance la plus courte entre les surfaces des deux particules ;

  • \[{f}_{\textrm{géométrie}}\] est une fonction de la géométrie des deux particules (rayons de courbure) ;

  • \[{f}_{\mathrm{hydrophobie}}\] est une fonction du caractère hydrophile ou hydrophobe de la surface des particules ;

  • \[{U}_{p2}-{U}_{p1}\] est la vitesse relative des particules supposées en mouvement dans un fluide au repos.

Le cas le plus courant est celui de particules hydrophiles dans l'eau (\[{f}_{\mathrm{hydrophobie}}=1\]).

On examinera successivement la résistance hydrodynamique lors de l'approche entre une sphère et un plan, puis entre deux sphères.

  • pour un plan et sphère : \[{f}_{\textrm{géométrie}}={d}_{P}^{2}/2\]

  • pour deux sphères identiques : \[{f}_{\textrm{géométrie}}={d}_{P}^{2}/8\]

  • pour deux sphères de taille différente : \[{f}_{\textrm{géométrie}}={\left(\frac{1}{{d}_{\mathrm{p1}}}+\frac{1}{{d}_{\mathrm{P2}}}\right)}^{-2}/2\]

d'où :

  • pour un plan et sphère : \[{F}_{D}=3\pi \mu \left({U}_{p2}-{U}_{p1}\right)\frac{{d}_{p}^{2}}{2h}\].

    Cette équation est équivalente à \[{F}_{D,z}=3\pi \mu {d}_{p}{\left({U}_{L}-{U}_{p}\right)}_{z}\left(\frac{1}{2h/{d}_{p}}\right)\].

  • pour deux sphères identiques : \[{F}_{D}=3\pi \mu \left({U}_{p2}-{U}_{p1}\right)\frac{{d}_{p}^{2}}{8h}\].

  • pour deux sphères de taille différente : \[{F}_{D}=3\pi \mu \left({U}_{\mathrm{p2}}-{U}_{\mathrm{p1}}\right)\frac{1}{2h}{\left(\frac{1}{{d}_{\mathrm{p1}}}+\frac{1}{{d}_{\mathrm{p2}}}\right)}^{-2}\].