Bilan sur des classes autres que la première classe : cas général

Considérons l'évolution du nombre de cristaux dans la classe de particules de taille \[\mathrm{[}L,L+{dL}\mathrm{[}\] entre deux instants \[t\] et \[t+{dt}\].

Évolution du nombre de cristaux dans la classe de particules de taille [L , L+dL[ entre deux instants t et t+dt.
Évolution du nombre de cristaux dans la classe de particules de taille [L , L+dL[ entre deux instants t et t+dt.Informations[1]

Entre \[t\] et \[t+{dt}\], sont rentrés dans la classe des particules de taille qui se trouvaient à \[L-{{dL}}_{1}\] et sont sorties des particules qui se trouvaient à \[L+{dL}-{{dL}}_{2}\].

Toute particule ayant une augmentation de taille par croissance strictement inférieure à \[{{dL}}_{2}\]restera dans la classe \[\mathrm{[}L,L+{dL}\mathrm{[}\] et toute particule ayant augmentation de taille supérieure ou égale à \[{{dL}}_{2}\]sortira de la classe \[\mathrm{[}L,L+{dL}\mathrm{[}\] par croissance.

\[{{dL}}_{1}\] et \[{{dL}}_{2}\] représentent donc l'augmentation de taille que doivent présenter des particules pour respectivement entrer dans la classe et sortir de la classe \[\mathrm{[}L,L+{dL}\mathrm{[}\].

Remarque

\[{{dL}}_{1}\ll {dL}\] et \[{{dL}}_{2}\ll {dL}\]

\[{{dL}}_{1}\] et \[{{dL}}_{2}\] peuvent être calculées grâce à la vitesse de croissance des particules : \[{{dL}}_{1}=G\left(L-{{dL}}_{1},t\right){dt}+{dG}\left(L-{{dL}}_{1},t\right){dt}\] et \[{{dL}}_{2}=G\left(L+{dL}-{{dL}}_{2},t\right){dt}+{dG}\left(L+{dL}-{{dL}}_{2},t\right){dt}\]

Par la suite les termes \[{dG}\left(L-{{dL}}_{1},t\right)\] et \[{dG}\left(L+{dL}-{{dL}}_{2},t\right)\] qui sont des termes du second ordre seront négligés et nous retiendrons \[{{dL}}_{1}=G\left(L-{{dL}}_{1},t\right){dt}\] et \[{{dL}}_{2}=G\left(L+{dL}-{{dL}}_{2},t\right){dt}\].

Soit un élément de volume \[{dV}\] dans le cristalliseur, centré autour d'un point M. Dans cet élément de volume, la vitesse de croissance dépend de la taille des cristaux et de la sursaturation locale S et sera notée \[G\left(L,M,t\right)\].

Le bilan des éléments entrant dans la classe \[\mathrm{[}L,L+{dL}\mathrm{[}\] et sortant de cette classe donne :

Bilan des éléments entrant et sortant de la classe [L , L+dL[

Nombre de particules entrant dans la classe

Nombre de particules sortant dans la classe

Par croissance

\(n(L-dL_1, M, t).dV.dL_1\)

\(n(L+dL-dL_2, M, t). dL_2 .dV\)

avec le débit d’alimentation

\(Q_e . n_e(L,t).dL.dt\)

avec le débit de soutirage

\(Q_s .n_s(L, t).dL.dt\)

Par brisure

\(R_{BR}^{(e)}(L,M,t).dL.dt\)

\(R_{BR}^{(s)}(L,M,t).dL.dt\)

Par agglomération

\(R_{AG}^{(e)}(L,M,t).dL.dt\)

\(R_{AG}^{(s)}(L,M,t).dL.dt\)

Avec \[{{dL}}_{1}=G\left(L-{{dL}}_{1,}M,t\right).{dt}\] et \[{{dL}}_{2}=G\left(L+{dL}-{{dL}}_{2,}M,t\right){dt}\]

Si on reprend le bilan

[nombre de cristaux entrant dans une classe] - [nombre de cristaux sortant de cette classe] = [accumulation de cristaux dans cette classe]

Le bilan sur la classe \[\mathrm{[}L,L+{dL}\mathrm{[}\] conduit donc à :

\[\begin{array}{rcl} d\left({\int }_{V}n\left(L,M,t\right)\mathrm{DL}{dV}\right)&=&{Q}_{e}.{n}_{e}\left(L,t\right).{dL.dt}-{Q}_{s}.{n}_{s}\left(L,t\right).{dL.dt}\\ ~&+&{\int }_{V}\left({R}_{\mathrm{AG}}^{\left(e\right)}+{R}_{\mathrm{BR}}^{\left(e\right)}-{R}_{\mathrm{AG}}^{\left(s\right)}+{R}_{\mathrm{BR}}^{\left(s\right)}\right).{dL.dV.dt}\\ ~&+&{\int }_{V}n\left(L-{{dL}}_{1,}M,t\right).{{dL}}_{1}.{dV}-{\int }_{V}n\left(L+{dL}-{{dL}}_{2,}M,t\right).{{dL}}_{2}.{dV}\end{array}\]

Si on pose

  • la vitesse nette d'agglomération \[{R}_{\mathrm{AG}}^{\mathrm{net}}={R}_{\mathrm{AG}}^{\left(e\right)}-{R}_{\mathrm{AG}}^{\left(s\right)}\] telle que \[{R}_{\mathrm{AG}}^{\mathrm{net}}{dL}\] est le nombre net de particules créées par agglomération dans la classe considérée par unité de temps et de volume,

  • la vitesse nette de brisure \[{R}_{\mathrm{BR}}^{\mathrm{net}}={R}_{\mathrm{BR}}^{\left(s\right)}-{R}_{\mathrm{BR}}^{\left(e\right)}\] telle que \[{R}_{\mathrm{BR}}^{\mathrm{net}}{dL}\] est le nombre net de particules disparues par brisure de la classe considérée par unité de temps et de volume,

l'équation devient :

\[\begin{array}{rcl} d\left({\int }_{V}n\left(L,M,t\right){dL}{dV}\right)&=&{Q}_{e}.{n}_{e}\left(L,t\right).{dL.dt}-{Q}_{s}.{n}_{s}\left(L,t\right).{dL.dt}+{\int }_{V}\left({R}_{\mathrm{AG}}^{\left(\mathrm{net}\right)}-{R}_{\mathrm{BR}}^{\left(\mathrm{net}\right)}\right).{dL.dV.dt}\\ ~&+&{\int }_{V}n\left(L-{{dL}}_{1,}M,t\right).{{dL}}_{1}.{dV}-{\int }_{V}n\left(L+{dL}-{{dL}}_{2,}M,t\right).{{dL}}_{2}.{dV}\end{array}\]

Attention

On notera que l'intervalle de temps \(dt\) doit être choisi suffisamment court pour que \[{{dL}}_{1}\] et \[{{dL}}_{2}\] soient inférieurs à \[{dL}\]. La différence \[{{dL}}_{1}-{{dL}}_{2}\] est un second ordre infiniment petit et peut donc être négligé devant \[{dL}\], un premier ordre infiniment petit.

En remplaçant \[{{dL}}_{1}\] et \[{{dL}}_{2}\] dans

\[\begin{array}{rcl}d\left({\int }_{V}n\left(L,M,t\right){dL}{dV}\right)&=&{Q}_{e}.{n}_{e}\left(L,t\right).{dL.dt}-{Q}_{s}.{n}_{s}\left(L,t\right).{dL.dt}+{\int }_{V}\left({R}_{\mathrm{AG}}^{\left(\mathrm{net}\right)}-{R}_{\mathrm{BR}}^{\left(\mathrm{net}\right)}\right).{dL.dV.dt}\\~&+&{\int }_{V}n\left(L-{{dL}}_{1,}M,t\right).{{dL}}_{1}.{dV}-{\int }_{V}n\left(L+{dL}-{{dL}}_{2,}M,t\right).{{dL}}_{2}.{dV}\end{array}\]

on a

\[\begin{array}{rcl}d\left({\int }_{V}n\left(L,M,t\right){dL}{dV}\right)&=&\left({Q}_{e}.{n}_{e}\left(L,t\right)-{Q}_{s}.{n}_{s}\left(L,t\right)\right).{dL.dt}+{\int }_{V}\left({R}_{\mathrm{AG}}^{\left(\mathrm{net}\right)}-{R}_{\mathrm{BR}}^{\left(\mathrm{net}\right)}\right).{dL.dt.dV}\\~&+&{\int }_{V}\left(n\left(L-{{dL}}_{1,}M,t\right).G\left(L-{{dL}}_{1,}M,t\right)-n\left(L+{dL}-{{dL}}_{2,}M,t\right).G\left(L+{dL}-{{dL}}_{2,}M,t\right)\right){dt.dV}\end{array}\]

Complément

En écrivant le développement limité d'ordre 1 de \[\left[\mathrm{nG}\right]\left(L-{{dL}}_{1,}M,t\right)\] et de \[\left[\mathrm{nG}\right]\left(L+{dL}-{{dL}}_{2,}M,t\right)\] on a respectivement :

\[\left[\mathrm{nG}\right]\left(L-{{dL}}_{1,}M,t\right)=\left[\mathrm{nG}\right]\left(L,M,t\right)-\frac{\partial \left[\mathrm{nG}\right]\left(L,M,t\right)}{\partial {L}_{1}}{{dL}}_{1}\]
\[\left[\mathrm{nG}\right]\left(L+{dL}-{{dL}}_{2,}M,t\right)=\left[\mathrm{nG}\right]\left(L,M,t\right)+\frac{\partial \left[\mathrm{nG}\right]\left(L,M,t\right)}{\partial L}{dL}-\frac{\partial \left[\mathrm{nG}\right]\left(L,M,t\right)}{\partial {L}_{2}}{{dL}}_{2}\]

En combinant les deux développements limités et le bilan de population, on peut écrire :

\[\begin{array}{rcl}d\left({\int }_{V}n\left(L,M,t\right){dL}{dV}\right)&=&\left({Q}_{e}.{n}_{e}\left(L,t\right)-{Q}_{s}.{n}_{s}\left(L,t\right)\right).{dL.dt}+{\int }_{V}\left({R}_{\mathrm{AG}}^{\left(\mathrm{net}\right)}-{R}_{\mathrm{BR}}^{\left(\mathrm{net}\right)}\right).{dL.dt.dV}\\~&+&{\int }_{V}\left(\frac{-\partial \left[\mathrm{nG}\right]\left(L,M,t\right)}{\partial {L}_{1}}{{dL}}_{1}-\frac{\partial \left[\mathrm{nG}\right]\left(L,M,t\right)}{\partial L}{dL}+\frac{\partial \left[\mathrm{nG}\right]\left(L,M,t\right)}{\partial {L}_{2}}{{dL}}_{2}\right){dt.dV}\end{array}\]

\[{{dL}}_{1}\] et \[{{dL}}_{2}\] étant négligeables devant \[{dL}\], et en divisant par \[{dt.dL}\] on obtient :

\[\begin{array}{rcl}\frac{\partial }{\partial t}\left({\int }_{V}n\left(L,M,t\right){dV}\right)&=&-{\int }_{V}\left(\frac{\partial \left[\mathrm{nG}\right]\left(L,M,t\right)}{\partial L}\right){dV}+\left({Q}_{e}.{n}_{e}\left(L,t\right)-{Q}_{s}.{n}_{s}\left(L,t\right)\right)\\~&+&{\int }_{V}\left({R}_{\mathrm{AG}}^{\left(\mathrm{net}\right)}-{R}_{\mathrm{BR}}^{\left(\mathrm{net}\right)}\right){dV}\end{array}\]

Si \[n\] et \[G\] sont uniformes sur tout le volume \[V\], en intégrant sur le volume \[V\] du cristallisoir on trouve l'équation du bilan de population :

\[\frac{\partial }{\partial t}\left(n\left(t\right){dV}\right)=-V\frac{\partial \left[\mathrm{nG}\right]\left(t\right)}{\partial L}+\left({Q}_{e}.{n}_{e}\left(L,t\right)-{Q}_{s}.{n}_{s}\left(L,t\right)\right)+V\left({R}_{\mathrm{AG}}^{\left(\mathrm{net}\right)}-{R}_{\mathrm{BR}}^{\left(\mathrm{net}\right)}\right)\]

Le bilan de population s'écrit en supposant \[n\] et \[G\] uniformes sur tout le volume \[V\] :

\[\frac{\partial }{\partial t}\left(n\left(t\right){dV}\right)=-V\frac{\partial \left[\mathrm{nG}\right]\left(t\right)}{\partial L}+\left({Q}_{e}.{n}_{e}\left(t\right)-{Q}_{s}.{n}_{s}\left(t\right)\right)+V\left({R}_{\mathrm{AG}}^{\left(\mathrm{net}\right)}-{R}_{\mathrm{BR}}^{\left(\mathrm{net}\right)}\right)\]

Cette équation n'est valable que pour des classes de particules de taille supérieure à la taille des nuclei. Il faut y rajouter une équation de bilan particulière aux nuclei (condition aux limites).