Exercice : Pour manipuler les relations...

Un fluide vérifie l'équation d'état[1] dite de Clausius :

\[P=\frac{RT}{v-b}\]

où \[b\] est une constante indépendante de la température et de la pression. La capacité calorifique à volume constant \[{c}_{v}\] est indépendante de la température.

Question

Exprimez l'énergie interne et l'enthalpie de ce fluide.

Indice

Utilisez les relations donnant la capacité calorifique molaire à volume constant[2] et la dérivée partielle de \[u\] par rapport au volume à \[T\] constante[3],  pour exprimer les dérivées de u par rapport à \[T\] et \[v\], puis intégrer pour obtenir \[u\].

Solution

Cette équation d'état[1] est parfois utilisée pour des gaz sous pression élevée, et exprime le fait que le volume ne tend pas vers zéro lorsque la pression devient infinie (la valeur minimale du volume \[b\], est appelée le covolume, et représente le volume propre des molécules). Notez que l'on retrouve l'équation des gaz parfaits pour \[b=0\].

Expression de u
\[\begin{array}{ccc}{\left(\frac{\partial u}{\partial v}\right)}_{T,\underline{N}}& =& P-T{\left(\frac{\partial P}{\partial T}\right)}_{v,\underline{N}}\\ & =& \frac{RT}{v-b}-T\frac{R}{v-b}\\ & =& 0\end{array}\]

ce qui nous montre que \[u\] est indépendant de \[v\]. On en déduit que la dérivée de \[u\] par rapport au volume, \[{c}_{v}\] , est aussi indépendant de \[v\]. \[{c}_{v}\] étant indépendant de \[T\], \[u\] s'exprime en intégrant \[\partial u/\partial T={c}_{v}\], soit :

\[u={c}_{v}\left(T-{T}_{0}\right)\]

Question

Exprimez l'entropie de ce fluide.

Indice

Utilisez les relations donnant la dérivée de \[s\] par rapport à \[T\] [4]  et la dérivée de \[s\] par rapport à \[v\] [5]pour exprimer les dérivées de \[s\] par rapport à \[T\] et \[v\], puis intégrer.

Solution

Expression de s

d'après tla dérivée de \[s\] par rapport à \[v\] [6]et la dérivée de \[s\] par rapport à \[T\] [7] :

\[\begin{array}{ccc}{\left(\frac{\partial s}{\partial v}\right)}_{T,\underline{N}}& =& {\left(\frac{\partial P}{\partial T}\right)}_{v,\underline{N}}\\ & =& \frac{R}{v-b}\\ {\left(\frac{\partial s}{\partial T}\right)}_{v,\underline{N}}& =& \frac{{c}_{v}}{T}\end{array}\]

dont on déduit, par intégration sur les deux variables indépendantes \[T\] et \[v\] :

\[s={c}_{v}\ln\frac{T}{T_0}+R\ln\frac{v-b}{v_0-b}\]

Question

Donner la capacité calorifique à pression constante de ce fluide.

Indice

utilisez la relation des capacités calorifiques molaires à volume constant et à pression constante[8], pour calculer la différence entre \[{c}_{P}\] et \[{c}_{v}\].

Solution

Calcul de cP − cv

il suffit d'appliquer la relation des capacités calorifiques molaires à volume constant et à pression constante[9], en notant que

\[\begin{array}{ccc}{\left(\frac{\partial v}{\partial T}\right)}_{P,\underline{N}}& =& \frac{R}{P}\\ {\left(\frac{\partial v}{\partial P}\right)}_{T,\underline{N}}& =& -\frac{RT}{P^2}\end{array}\]

ce qui conduit à \[{c}_{P}-{c}_{v}=R\]