Exercice : Enthalpie libre d'un solide

On considère un solide de volume molaire \[v\] et de capacité calorifique molaire \[c\] ; en première approximation pour un solide, on peut considérer \[v\] et \[c\] indépendants de la température et de la pression.

Question

Donner l'expression de l'enthalpie libre de ce solide.

Indice

Il y a plein de façons d'y arriver. La plus simple, peut-être :

  • choisir les variables : \[T\], \[P\], \[N\]

  • appliquer le premier et le second principe à une transformation élémentaire réversible

  • intégrer ces deux relations pour obtenir \[U\] et \[S\]

  • appliquer la définition de \[G\]

Solution

Soit \[N\] moles du solide, dans un état caractérisé par les variables \[T\] et \[P\]. Lors de toute transformation élémentaire de ce système, le travail des forces extérieures est nul :

\[dW=-{P}_{\mathrm{ext}}Ndv=0\]

(car incompressible : \[v\] indépendant de \[P\] et \[T\]). L'application des deux principes donne donc :

\[\begin{array}{ccc} dU& =& Nc dT\\ dS& =& Nc\frac{dT}{T}\end{array}\]

ce qui conduit, après intégration, si on choisit de fixer \[U\] et \[S\] nulles à une température \[{T}_{0}\]

\[\begin{array}{ccc}U& =& Nc\left(T-{T}_{0}\right)\\ S& =& Nc\ln\frac{T}{{T}_{0}}\end{array}\]

et

\[G=U+PV-TS=N\left(c\left(T-{T}_{0}\right)-cT\ln\frac{T}{{T}_{0}}+Pv\right)\]