Exercice : Énergie libre d'un fluide

L'énergie libre de \[N\] moles d'un certain fluide, occupant un volume \[V\] à la température \[T\], s'écrit :

\[A\left(T,V,N\right)=Nc_v\left(T-T_0-T\ln\frac{T}{T_0}\right)-NRT\ln\frac{V}{V_0}\]

où \[{T}_{0}\] et \[{V}_{0}\] caractérisent un état de référence[1], dans lequel l'énergie libre est arbitrairement choisie égale à 0.

Question

  1. En déduire l'entropie et l'énergie interne de ce fluide.

  2. Déterminez l'équation d'état[2] de ce fluide, et caractérisez-le.

  3. On comprime ce fluide à température constante, d'une pression \[{P}_{1}\] à une pression \[{P}_{2}\]. Calculez le travail minimum nécessaire pour cette transformation.

Indice

Utilisez simplement les relations du cours, en particulier la relation \[S=-{\left(\frac{\partial A}{\partial T}\right)}_{V}\] et la définition de \[A\].

Solution

\[\begin{array}{ccc} S& =& -{\left(\frac{\partial A}{\partial T}\right)}_{V}\\ & =& Nc_v\left(1-0-T×\frac{1}{T}-\ln\frac{T}{T_0}\right)+NR\ln\frac{V}{V_0}\\ & =& Nc_v\ln\frac{T}{T_0}+NR\ln\frac{V}{V_0} \end{array}\]

L'énergie interne se déduit de la définition de \[A\] : \[U=A+TS\], d'où :

\[U=N{c}_{v}\left(T-{T}_{0}\right)\]

L'équation d'équilibre (équation d'état[2]) du fluide s'obtient en écrivant :

\[\begin{array}{ccc}P& =& -{\left(\frac{\partial A}{\partial V}\right)}_{T}\\ & =& \frac{NRT}{V}\end{array}\]

Le fluide est donc un gaz parfait.

Si on fait une compression isotherme, on passe de l'état \[\left({P}_{1},{V}_{1},T\right)\] à l'état \[\left({P}_{2},{V}_{2},T\right)\], avec (d'après l'équation d'état[2]) \[{P}_1{V}_1={P}_2{V}_2=NRT\]

Le travail minimum est égal à \[-{\Delta }_{T}A\], soit :

\[{W}_{\mathrm{min}}=-NRT\ln\frac{V_2}{V_1}=NRT\ln\frac{P_2}{P_1}\]