Exercice : Gaz parfait contenu dans un cylindre fermé par un piston mobile.

On considère un système formé de \[N\] moles de gaz parfait, contenues dans un cylindre fermé par un piston mobile. On suppose qu'il n'y a pas d'échange de chaleur avec l'extérieur. Le gaz est dans l'état 1 : (\[{T}_{1}\], \[{P}_{1}\], \[{V}_{1}\]).

On augmente d'un seul coup la pression extérieure pour la faire passer à la valeur \[{P}_{2}\]. On attend qu'un nouvel état d'équilibre s'installe (état 2). On revient ensuite tout aussi brutalement à la pression initiale \[{P}_{1}\], et on attend à nouveau l'établissement de l'état d'équilibre (état 3).

Question

Le système revient-il dans son état initial ? (l'état 3 est-il identique à l'état 1 ?).

Répondre sans calcul.

Indice

Le système est thermiquement isolé, siège de transformations irréversibles... donc son entropie... ?

Solution

Entre les états 1 et 3, le système a subi des transformations irréversibles (parce que non-quasistatiques) donc \[{\Delta }_{i} > 0\]. De plus, les transformations sont adiabatiques, donc \[{\Delta }_{e}S=0\], et par conséquent \[\Delta S>0\]. L'entropie à l'état 3 étant différente de l'entropie à l'état 1, le système n'a pas pu revenir dans son état initial.

Question

Calculez la température et le volume du système dans les états 2 et 3 en fonction du taux de compression \[\alpha ={P}_{2}/{P}_{1}\]

On admettra que l'équation d'état[1] du gaz parfait est : \[PV=NRT\] et que l'énergie interne s'exprime par : \[U=N{c}_{v}\left(T-{T}_{0}\right)\] avec \[{c}_{v}=\frac{5}{2}R\] (pour un gaz diatomique comme de l'air).

Indice

Appliquez le premier principe à ces deux transformations.

Solution

Écrivons le premier principe pour la transformation \[\left(1\right) \rightarrow \left(2\right)\], sachant que la pression \[{P}_{2}\], appliquée dès le début de la transformation, travaille tout au long de cette transformation :

\[\Delta U+\Delta K=W+Q\]

devient :

\[Nc_{v}\left({T}_{2}-{T}_{1}\right)=-{P}_{2}\left({V}_{2}-{V}_{1}\right)\]

d'où, en introduisant l'équation des gaz parfaits et le taux de compression \[\alpha \]:

\[Nc_{v}\left(T_2-T_1\right)=-NRT_2+\alpha NRT_1\]

d'où on tire

\[{T}_{2}={T}_{1}\frac{{c}_{v}+\alpha R}{{c}_{v}+R}\]

Le volume \[{V}_{2}\] s'exprime en fonction de \[{P}_{2}\] et \[{T}_{2}\] (connus) par l'équation d'état[1].

La transformation \[\left(2\right) \rightarrow \left(3\right)\] est une détente irréversible, qui se ramène en fait à une compression irréversible de rapport \[1/\alpha \]. En transposant l'expression précédente[2], on obtient donc :

\[{T}_{3}={T}_{2}\frac{{c}_{v}+R/\alpha }{{c}_{v}+R}\]

et finalement :

\[T_{3}=T_{1}\frac{c_{v}^{2}+{R}^{2}+c_{v}R\left(\alpha +1/\alpha \right)}{{\left(c_{v}+R\right)}^{2}}\]

(\[{V}_{3}\] s'en déduit sans problème).

On constate que \[\alpha +1/\alpha \] étant toujours supérieur à 2 si \[\alpha \ne 1\], la température \[{T}_{3}\] est supérieure à \[{T}_{1}\]. C'est le résultat de la dissipation d'énergie par viscosité dans le gaz.

Si on applique le premier principe à la transformation globale \[\left(1\right)\rightarrow\left(3\right)\], on constate que l'énergie interne a globalement augmenté (\[{T}_{3}>{T}_{1}⇒{U}_{3}>{U}_{1}\]), et donc que le travail des forces extérieures a été globalement positif : on a fourni plus d'énergie mécanique au système pendant la compression qu'il n'en a restitué pendant la détente.