Thermodynamique.

On considère comme système :

• à l'état initial : les deux quantités d'eau chaude et froide qu'on va mélanger (état 1, voir figure)

• à l'état final : le contenu de la baignoire (état 3, voir figure)

Soient \[{M}_{c}\] et \[{T}_{c}\] ( respectivement \[{M}_{f}\] et \[{T}_{f}\]) la masse et la température de l'eau chaude (respectivement froide). En faisant le mélange :

si \[{T}_{m}\] est la température finale du mélange, \[c\] la capacité calorifique de l'eau. (on pouvait aussi obtenir cette équation en notant que l'enthalpie de l'eau liquide s'écrit \[U=McT+\textrm{Cte}\], et écrire que l'enthalpie de l'eau dans la baignoire se conserve (transformation à pression constante d'un système globalement isolé).

On a donc le système d'équations :

d'où

et

On met l'eau chaude et l'eau froide en contact thermique. On peut imaginer, pour raisonner plus simplement, que l'eau chaude reste dans une partie de la baignoire, l'eau froide dans une autre partie séparées par une paroi conductrice de la chaleur et qu'elles échangent de la chaleur sans se mélanger (on a ainsi deux sous-systèmes dont les frontières sont bien identifiées, cf état 2 de la figure). Une fois la température homogénéisée, on peut enlever la paroi sans rien modifier à l'état du système.

Pendant un intervalle de temps \[dt\], l'eau chaude cède une quantité de chaleur \[\delta Q\] à l'eau froide, et :

La variation d'entropie du système est, d'après \[{dS}=+\delta {Q}_{1\to 2}\left(\frac{1}{{T}_{2}}-\frac{1}{{T}_{1}}\right)>0\] :

Par intégration entre l'état initial et l'état final, il vient :

Application numérique :