Dénombrement des degrés de liberté
Nous limiterons notre étude au cas d'une colonne simple : colonne avec une seule alimentation, pas de soutirage latéral (on ne sort que le distillat[1] en tête et le résidu[2] en pied), et où seuls le condenseur (étage 1) et le rebouilleur (étage \(N\)) sont les sièges de transferts thermiques avec l'extérieur.
La pression est fixée, et on la suppose à peu près homogène dans toute la colonne.
L'alimentation (débit, composition, température, pression) est imposée.
Soit \[c\] le nombre de constituants présents dans la charge. Chaque plateau de cette colonne est décrit par :
\[c\] équations d'équilibre (une égalité entre potentiel chimique[5] en phase liquide et en phase vapeur pour chaque constituant)
\[c\] équations de bilan matière (une par constituant)
1 équation de bilan enthalpique
Il y a donc \[N\left(2 c+1\right)\] équations descriptives du problème.
Les variables qui interviennent dans ces équations sont :
les débits molaires partiels de chaque constituant quittant chaque plateau, en phase liquide et vapeur, soit \[2 Nc\] variables
les températures de chaque plateau, soit \[N\] variables
la puissance thermique reçue par rebouilleur (dans le bilan enthalpique sur le rebouilleur) et la puissance thermique cédée par le condenseur (dans le bilan enthalpique sur le condenseur)
On a donc \[N\left(2 c+1\right)+2\] variables décrivant le fonctionnement de la colonne. A ces variables, il convient aussi d'ajouter le nombre de plateaux de la colonne, a priori indéterminé, et qui, s'il n'apparaît pas explicitement dans l'une des équations, détermine le nombre d'équations et d'inconnues du système.
On a donc, en tout \[N\left(2 c+1\right)\] équations, reliant \[N\left(2 c+1\right)+3\] variables : le nombre de degrés de libertés (variables que l'on peut s'imposer à peu près arbitrairement) est donc de 3.
Les variables que l'on peut s'imposer dans la conception d'une colonne pourront par exemple être :
Une fraction molaire[6] dans le distillat[1] (pureté), une fraction molaire[6] dans le résidu[2] (pureté), taux de reflux[7]
taux de récupération de deux constituants dans l'un ou l'autre des débits de sortie, taux de reflux[7]
nombre d'étages, taux de reflux[7] et débit de distillat[1]
quantités de chaleur échangées au condenseur et au rebouilleur, nombre d'étages...
Lors des étapes de conception d'une distillation, on part habituellement de performances de séparation, par exemple pureté du distillat[1] et du résidu[2], ou taux de récupération de deux constituants-clés dans le distillat ou le résidu, ce qui fixe deux variables. Par le biais des équations de bilan matière sur la colonne, les débits de distillat[1] et de résidu[2] sont eux aussi déterminés. On choisira souvent comme troisième variable le taux de reflux[7], que l'on pourra faire varier de façon à choisir la configuration de colonne la plus économique possible.