Force latérale ou Portance

Les situations précédentes sont relatives à une particule subissant uniquement une translation. Qu'en est-il si la particule est en rotation ou soumise à un écoulement cisaillé (par exemple, près d'une paroi ou dans un tourbillon) ?

Il apparaît alors une force latérale [Matas et coll., 2004].

Une particule en rotation (vitesse angulaire {u}_{\Omega } et en translation (vitesse u) subira une force (dite de force de Magnus ou force de Rubinow-Keller {F}_{\mathrm{Rubinow}}) :

{F}_{p}=\frac{\pi }{8}{d}_{p}^{3}{\rho }_{L}\Omega \wedge \left({U}_{P}-{U}_{L}\right)

ou

{F}_{p}=\frac{\pi }{8}{d}_{p}^{3}{\rho }_{L}\Omega U
Illustration de la force de Rubinow-Keller
Illustration de la force de Rubinow-KellerInformations

L'application du théorème de Bernoulli montre que la pression est plus élevée à l'endroit où la vitesse linéaire de la circonférence est opposée à la vitesse du fluide. Ceci conduit à une différence de pression et donc à une force (figure ci-dessus).

Une particule se déplaçant dans un écoulement cisaillé peut subir une force de portance. La vitesse de rotation d'une particule sphérique portée par le fluide est \dot{\gamma }/2\dot{\gamma } est le cisaillement local \dot{\gamma }.

On a alors :

{F}_{P}=\frac{\pi }{16}{\rho }_{L}U{d}_{p}^{3}\dot{\gamma }

L'équation précédente montre que cette force est importante pour les grandes particules (terme en {d}_{p}^{3}). Sa comparaison à d'autres forces sera examinée ci-dessous.

En fait, pour de petites particules dans un écoulement cisaillé, Saffman a montré que la portance (force de Saffman {F}_{\mathrm{Saffman}}) obéit à :

{F}_{P}=1,61{\rho }_{L}{v}^{\mathrm{1/2}}U{d}_{p}^{2}{\dot{\gamma }}^{1/2}

Cette expression tient compte de l'effet de l'inertie dans l'écoulement visqueux autour de la particule (figure ci-dessous).

Force de Saffman
Force de SaffmanInformations

Le rapport des deux forces de portance est égal à :

{F}_{\mathrm{Saffman}}/{F}_{\mathrm{Rubinow}}=8{\left({d}_{p}^{2}\dot{\gamma }/v\right)}^{-1/2}=8R{e}_{\mathrm{pc}}^{-1/2}

{\mathrm{Re}}_{\mathrm{pc}} est le nombre de Reynolds particulaire dans l'écoulement cisaillé. Si celui-ci est inférieur à 1 ({d}_{p}=100\mu m ; \dot{\gamma }=100{s}^{-1}), la force de Rubinow est négligeable.

On peut aussi comparer la force de Saffman à la force de traînée (Stokes) :

{F}_{\mathrm{Saffman}}/{F}_{\mathrm{Stokes}}=0,17R{e}_{pc}^{1/2}

Si R{e}_{pc} est inférieur à 1 ({d}_{p}=100\mu m ; \dot{\gamma }=100{s}^{-1}), la force de Saffman est petite devant celle de Stokes, mais peut néanmoins conduire à une déviation des particules.