Les moments

Le bilan de population est aussi souvent écrit en termes de moments.

Définitionle moment en taille

On définit le moment en tailles \[{m}_{L,j}\] d'ordre \(j\) de la distribution \[n\left(L,t\right)\] :

\[{m}_{L,j}={\int }_{0}^{\infty }{L}^{j}n{dL}\]

Le moment d'ordre 0 est donc proportionnel à un nombre, \[{m}_{L,0}={\int }_{0}^{\infty }n{dL}\]

le moment d'ordre 1 \[{m}_{L,1}={\int }_{0}^{\infty }nL{dL}\] à une longueur,

le moment d'ordre 2 \[{m}_{L,2}={\int }_{0}^{\infty }n{L}^{2}{dL}\] à une surface,

et le moment d'ordre 3 \[{m}_{L,3}={\int }_{0}^{\infty }n{L}^{3}{dL}\]à un volume, une masse \[{\int }_{0}^{\infty }{\phi }_{V}{\rho }_{\mathrm{solide}}n{L}^{3}{dL}\] ou un nombre de moles \[{\int }_{0}^{\infty }\frac{{\phi }_{V}{\rho }_{\mathrm{solide}}}{{M}_{\mathrm{solide}}}n{L}^{3}{dL}\].

Remarque

Par la suite pour simplifier les notations, le moment en tailles sera noté : \[{m}_{j}\].

L'intérêt d'utiliser des moments permet de calculer assez simplement des grandeurs moyennes telles que des tailles et écarts types (ou variances) :

  • Le diamètre moyen en nombre \[{L}_{1,0}\], en surface (ou diamètre de Sauter) \[{L}_{3,2}\] et en masse (ou volume) \[{L}_{4,3}\] seront calculés par :

  • \[{L}_{1,0}=\frac{{m}_{1}}{{m}_{0}}\], \[{L}_{3,2}=\frac{{m}_{3}}{{m}_{2}}\] et \[{L}_{4,3}=\frac{{m}_{4}}{{m}_{3}}\].

  • Les écarts-types réduits en nombre \[{\sigma }_{N}\], en surface \[{\sigma }_{S}\] et en masse \[{\sigma }_{M}\] seront calculés par :

    \[{\sigma }_{N}={\left(\frac{{m}_{2}{m}_{0}}{{{m}_{1}}^{2}}-1\right)}^{1/2}\], \[{\sigma }_{S}={\left(\frac{{m}_{4}{m}_{2}}{{{m}_{3}}^{2}}-1\right)}^{1/2}\] et \[{\sigma }_{M}={\left(\frac{{m}_{5}{m}_{3}}{{{m}_{4}}^{2}}-1\right)}^{1/2}\]

Complément

Pour plus de précisions sur les diamètres moyens et variances d'une distribution de tailles :

voir le cours sur les Sciences et Technologies des Poudres.

Définition

On peut définir de la même manière le moment en surface d'ordre \(j\) \[{m}_{s,j}={\int }_{0}^{\infty }{s}_{p}^{j}{n}_{s}{{ds}}_{p}\] et le moment en volume d'ordre \(j\) \[{m}_{v,j}={\int }_{0}^{\infty }{v}_{p}^{j}{n}_{v}{{dv}}_{p}\].

Remarque

Il existe des relations entre les différents moments exprimés en taille, surface ou volume.

Par exemple quelle est la relation entre un moment en volume et un moment en taille ?

Le nombre de cristaux dont la taille \(L\) est comprise dans la classe de taille \[\left[L;L+{dL}\right]\] par unité de volume de suspension est égal à :

\[n\left(L\right){dL}\]

Le nombre de cristaux dont le volume \[{v}_{p}\] est compris dans la classe \[\left[{v}_{p};{v}_{p}+{{dv}}_{p}\right]\] est égal à :

\[{n}_{v}\left({v}_{p}\right){{dv}}_{p}\]

avec \[{v}_{p}={\phi }_{v}{L}^{3}\].

Le nombre de cristaux par unité de volume de suspension étant indépendant de la représentation choisie en volume ou nombre, on a :

\[n\left(L\right){dL}={n}_{v}\left({v}_{p}\right){{dv}}_{p}\]

En terme de moments \[{m}_{v,j}={\int }_{0}^{\infty }{v}_{p}^{j}{n}_{v}{{dv}}_{p}\]

soit \[{m}_{v,j}={\int }_{0}^{\infty }{\left({\phi }_{v}{L}^{3}\right)}^{j}n{dL}\]

soit pour un facteur de forme en volume constant en fonction de \(L\) :

\[{m}_{v,j}={{\phi }_{v}}^{j}{\int }_{0}^{\infty }{L}^{3j}n{dL}\]
\[{m}_{v,j}={{\phi }_{v}}^{j}{m}_{3j}\]

En procédant de même avec le moment en surface, sachant que \[{s}_{p}={\phi }_{s}{L}^{2}\] on arrive à :

\[{m}_{s,j}={\int }_{0}^{\infty }{s}_{p}^{j}{n}_{s}{{ds}}_{p}={\int }_{0}^{\infty }{\left({\phi }_{s}{L}^{2}\right)}^{j}n{dL}={\phi }_{s}^{j}{m}_{2j}\]