Le bilan de population écrit sous forme de moments sans agglomération
Le bilan de population, en ne considérant pas l'agglomération, s'écrit :
La transformation de l'équation du bilan de population écrite en termes de densité de population en équation utilisant les moments se fait en multipliant l'équation par {L}^{j}{dL} et en intégrant cette équation entre 0 et l'infini (toutes les tailles possibles).
Remarque :
En milieu homogène, n_s (t, L) = n (t, L) pour toutes les classes de tailles. On a donc : n_s (t) = n (t)
En décomposant l'équation
Terme d'accumulation :
Terme concernant la nucléation :
En tenant compte des propriétés de la fonction Dirac ( voir Écriture générale du bilan de population[1]), on obtient :
soit comme {L}_{c}\to 0,
d'où
Terme concernant la croissance :
Dans le cas où G est indépendant de la taille, et utilisant une intégration par partie {\int }_{a}^{b}U\mathrm{'}V={\left(UV\right)}_{a}^{b}-{\int }_{a}^{b}UV\mathrm{'} on obtient
comme {\left({L}^{j}n\left(L\right)\right)}_{L\to \infty }=0 et {\left({L}^{j}n\left(L\right)\right)}_{L\to 0}=0, on a
Terme concernant les termes d'entrée et de sortie du cristallisoir :
Définition :
Le bilan de population en termes de moments sans agglomération s'écrit donc :
\left(\frac{1}{V}\frac{\partial }{\partial t}\left(V{m}_{j}\right)\right)={\left(0\right)}^{j}B+Gj{m}_{j-1}+\frac{\left({Q}_{e}{m}_{j}^{e}-{Q}_{s}{m}_{j}^{s}\right)}{V}