Exercice : Azéotrope propanol-eau

Question

Déterminez les coordonnées de l'azéotrope propanol(1)-eau(2) à 350 K.

On donne : \[{P}_{1}^{\left(s\right)}=44500 \textrm{ Pa}\], \[{P}_{2}^{\left(s\right)}=41650 \textrm{ Pa}\], \[{g}^{E}/RT={x}_{1}{x}_{2}\left({A}_{12}{x}_{1}+{A}_{21}{x}_{2}\right)\] avec \[{A}_{12}=1,116\], \[{A}_{21}=2,210\].

Indice

Commencer par résoudre en \[{x}_{1}\] l'équation

\[\frac{\partial \left({g}^{E}/RT\right)}{\partial {x}_{1}}+\ln \frac{{P}_{1}^{\left(s\right)}}{{P}_{2}^{\left(s\right)}}=0\]

pour obtenir la composition de l'azéotrope. La pression de l'azéotrope se détermine ensuite par

\[P={\left(P_1^{\left(s\right)}\right)}^{x_1} {\left(P_2^{\left(s\right)}\right)}^{x_2} \exp \left(g^E \left( x_1 \right)/ RT\right)\]

Solution

Sachant que \[{g}^{E}/RT={x}_{1}{x}_{2}\left({A}_{12}{x}_{1}+{A}_{21}{x}_{2}\right)\] , on obtient sa dérivée analytique par rapport à \[{x}_{1}\]  :

\[\frac{d\left({g}^{E}/RT\right)}{d{x}_{1}}=\left({x}_{2}-{x}_{1}\right)\left({A}_{12}{x}_{1}+{A}_{21}{x}_{2}\right)+{x}_{1}{x}_{2}\left({A}_{12}-{A}_{21}\right)\]

Par ailleurs, \[\ln\frac{{P}_{1}^{\left(s\right)}}{{P}_{2}^{\left(s\right)}}=0,06619\] . Nous appellerons \[K\] cette valeur par la suite.

Il faut donc résoudre

\[\frac{d\left({g}^{E}/RT\right)}{d{x}_{1}}+K=0\]

ce qui prend la forme :

\[3\left({A}_{21}-{A}_{12}\right){x}_{1}^{2}+\left(2{A}_{12}-4{A}_{21}\right){x}_{1}+{A}_{21}+K=0\]

soit numériquement :

\[3,282{x}_{1}^{2}-6,608{x}_{1}+2,2759=0\]

cette équation n'a qu'une racine comprise entre 0 et 1, qui vaut \[{x}_{1}=0,441\].

Pour cette composition, l'enthalpie libre d'excès[1] vaut \[{g}^{E}\left({x}_{1}\right)/RT=0,4259\] et la pression de l'azéotrope se calcule donc par : \[P={44500}^{0,441}\cdot {41650}^{0,559}\cdot \mathrm{exp}\left(0,4259\right)=65640 \textrm{ Pa}\].