Exercice : Différentes représentations d'un système dispersé
Prenons le cas d'un ensemble de \(n=10\) billes sphériques de tailles différentes, ayant des diamètres \(x_i\) allant de 1 à \({10}{\, \rm mm}\).
Question
On peut imaginer vouloir représenter ce système par un autre qui comporterait des billes de tailles identiques, et qui pour autant aurait des caractéristiques identiques :
même nombre de billes et même longueur,
même nombre de billes et même surface,
même nombre de billes et même volume,
même surface totale et même longueur totale,
même volume total et même surface totale.
Indice
Dans ce système, tous les \(n_i\) valent 1. On calcule aisément les grandeurs suivantes (au facteur de forme près) qui le caractérisent :
nombre total de billes \(N=\sum_i x_i^0 n_i=10\),
longueur totale \(L=\sum_i x_i n_i = {55}{\, \rm mm}\),
surface totale \(S=\sum_i x_i^2 n_i = {385}{\, \rm mm^2}\)(calculé sans facteur de forme),
volume total \(V=\sum_i x_i^3 n_i = {3025}{\, \rm mm^3}\), (calculé sans facteur de forme).
Solution
Les tailles moyennes correspondantes sont :
Grandeurs conservées | Diamètre moyen correspondant * | Système équivalent |
|---|---|---|
Nombre et longueur | \(x_{NL} = x_{10}\) | 10 billes de 5,5 mm |
Nombre et surface | \(x_{NS} = x_{20}\) | 10 billes de 6,2 mm |
Nombre et volume | \(x_{NV} = x_{30}\) | 10 billes de 6,7 mm |
Surface et longueur | \(x_{LS} = x_{21}\) | 7,9 billes de 7 mm |
Volume et surface | \(x_{SV} =x_{32}\) | 6,2 billes de 7,9 mm |
* voir expressions du tableau de la partie précédente intitulée : Diamètres moyens